黎曼函式定義;　R(x)=0，如果x=0，1或(0,1)內的無理數； 　　R(x)=1/q，如果x=p/q（p/q為既約真分數），即x為(0,1)內的有理數。定理：黎曼函式在區間(0,1)內的極限處處為0。 　　證明：對任意x0∈(0,1)，任給正數ε，考慮除x0以外所有黎曼函式的函式值大於等於ε的點，因為黎曼函式的正數值都是1/q的形式（q∈N+），且對每個q，函式值等於1/q的點都是有限的，所以除x0以外所有函式值大於等於ε的點也是有限的。設這些點，連同0、1，與x0的最小距離為δ，則x0的半徑為δ的去心鄰域中所有點函式值均在[0,ε)中，從而黎曼函式在x->x0時的極限為0。 　　推論：黎曼函式在(0,1)內的無理點處處連續，有理點處處不連續。 　　 “對x=0,只需考慮有極限，證明完全一樣。”

對任意的d>1，考慮在【d，正無窮）上有0<1/n^x<=1/n^d，因為d>1，故級數(n=1到無窮)1/n^d收斂，於是由Weierstrass判別法知道函式項級數(n=1到無窮)1/n^x在【d，正無窮）上一致收斂，顯然1/n^x在【d，正無窮）上連續，於是和函式Zeta(x)在【d，正無窮）上連續。由d的任意性知道Zeta(x)在（1，正無窮）上連續。證畢。