這是一個很基本的命題，學過定積分的同學都應該能輕鬆地證出來。下面都用你的在問題中給出的記號。命題：證明：設則從而假設 f(x) 在 [a,b] 上無界，則 f(x) 在某個小區間上無界。於是取定後，必能取到使得矛盾。

如果是閉區間 上的黎曼可積函式，那麼兩個相乘的確是可積的。這一點在一般的書上都有，比如rudin的那本《數學分析原理》上就有。

如果是勒貝格可積（或者說一般測度空間上的積分），也就是我們定義 才算可積，那就不一定了。否則我們就不需要Holder"s inequality. 一個簡單的例子就是 . 這個時候，我們發現 .

我們一般估計兩個函式（勒貝格）積分的方法是 .

其中 . 這個式子也能直接用來證明黎曼可積的兩個函式想乘也是黎曼可積的。因為（閉區間上）黎曼可積的函式一定有界(也一定勒貝格可積)。這裡不要和一般的瑕積分（廣義積分）相混淆，因此 . 另一方，一個有界函式在閉區間上黎曼可積當且僅當其幾乎處處連續。這樣，你也可以保證 也是黎曼可積的。

.

然後你注意到加減和二階乘都不會改變可測（黎曼可積）性，於是可得最終結果。

還有一種“可積”把積分值等於無窮也算進來。