1824年,阿貝爾證明了五次或五次以上的代數方程沒有一般的用根式求解的公式．該證明寫進了“論代數方所謂方程有根式解(代數可解),就是這個方程的解可由該方程的係數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來．關於代數方程的求解,從16世紀前半葉起,已成為代數學的首要問題,一般的三次和四次方程解法被義大利的幾位數學家解決．在以後的幾百年裡,代數學家們主要致力於求解五次乃至更高次數的方程,但是一直沒有成功．對於方程論,拉格朗日比較系統地研究了方程根的性質(1770),正確指出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在,從而實現了代數思維方式的轉變．儘管拉格朗日沒能徹底解決高次方程的求解問題,但是他的思維方法卻給後人以啟示．P．魯菲尼(Ruffini)於1799年首次證明了高於四次的一般方程的不可解性,但其“證明”存有缺陷．兩年以後,高斯解決了分圓方程的可解性理論問題．拉格朗日和高斯的工作是阿貝爾研究工作的出發點．中學時,他就讀過拉格朗日關於方程論的著作；大學一年級開始全面研究高斯的《算術研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．後來,他又瞭解了柯西關於置換理論方面的成果．然而,他當時並不曉得魯菲尼的工作．阿貝爾就是在這種背景下思考代數方程可解性理論問題的．1824年,阿貝爾首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正確證明．更詳細的證明,於1826年發表在克雷爾雜誌第一期上．題目為“高於四次的一般方程的代數解法不可能性的證明”．在這篇論文中,阿貝爾討論並修正了魯菲尼論證中的缺陷．魯菲尼的“證明”缺乏域的概念,所以不可能在由已知方程的係數所確定的基礎域及域的擴張下進行工作．另外,魯菲尼“證明”中還用到了一個未加證明的關鍵性命題,後稱阿貝爾定理．該定理說,如果一個代數方程能用根式求解,則出現在根的表示式中的每個根式,一定可以表成方程諸根及某些單位根的有理函式．阿貝爾就是應用這個定理證明高於四次的一般方程不能有根式解的．上面所說的阿貝爾定理,也就是“置換群”的思想.他在進一步思考哪些方程（比如x^n-1=0)才可用根式解的問題的時候,阿貝爾證明了下述定理：對於一個任意次的方程,如果方程所有的根都可用其中的一個根有理地表出(我們用x表示),並且任意兩個根Q(x)與Q1(x)(這裡Q,Q1均為有理函式),滿足關係QQ1(x)=Q1Q(x),那麼所考慮的方程總是代數可解的．或者說,根xi=Q1(Xi),Q2(Xi),…,Qn(Xi)是根x1,x2,…,xn的一個置換．方程根進行這樣置換的個數是n．阿貝爾考慮並證明了這些置換的性質,這就是“置換群”.阿貝爾遺作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿,即“關於函式的代數解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions,1839)．文中敘述了方程論的發展狀況,重新討論了特殊方程可解性的問題,為後來E·伽羅瓦(Galois)遺作的出版開闢了道路．在前言部分,阿貝爾暗示出一種重要的思維方法,他認為解方程之前,應首先證明其解的存在性,這樣可使整個過程避免“計算的複雜性”．在代數方程可解性理論研究中,他還提出了一個研究綱領,就是在他的工作中需要解決兩類問題：一是構造任意次數的代數可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他試圖全部刻畫可用根式求解的方程的特性．但因早逝而沒能完成這個工作,他只解決了第一類問題．幾年後,伽羅瓦接過他的工作,用群的方法徹底解決了代數方程的可解性理論問題,從而建立了現在所謂的伽羅瓦理論．關於伽羅瓦的群結構思想
1824年,阿貝爾證明了五次或五次以上的代數方程沒有一般的用根式求解的公式．該證明寫進了“論代數方所謂方程有根式解(代數可解),就是這個方程的解可由該方程的係數經過有限次加減乘除以及開整數次方等運算表示出來．關於代數方程的求解,從16世紀前半葉起,已成為代數學的首要問題,一般的三次和四次方程解法被義大利的幾位數學家解決．在以後的幾百年裡,代數學家們主要致力於求解五次乃至更高次數的方程,但是一直沒有成功．對於方程論,拉格朗日比較系統地研究了方程根的性質(1770),正確指出方程根的排列與置換理論是解代數方程的關鍵所在,從而實現了代數思維方式的轉變．儘管拉格朗日沒能徹底解決高次方程的求解問題,但是他的思維方法卻給後人以啟示．P．魯菲尼(Ruffini)於1799年首次證明了高於四次的一般方程的不可解性,但其“證明”存有缺陷．兩年以後,高斯解決了分圓方程的可解性理論問題．拉格朗日和高斯的工作是阿貝爾研究工作的出發點．中學時,他就讀過拉格朗日關於方程論的著作；大學一年級開始全面研究高斯的《算術研究》(Disquis-tiones arithmeticae)．後來,他又瞭解了柯西關於置換理論方面的成果．然而,他當時並不曉得魯菲尼的工作．阿貝爾就是在這種背景下思考代數方程可解性理論問題的．1824年,阿貝爾首次作出了一般的五次方程用根式不可解的正確證明．更詳細的證明,於1826年發表在克雷爾雜誌第一期上．題目為“高於四次的一般方程的代數解法不可能性的證明”．在這篇論文中,阿貝爾討論並修正了魯菲尼論證中的缺陷．魯菲尼的“證明”缺乏域的概念,所以不可能在由已知方程的係數所確定的基礎域及域的擴張下進行工作．另外,魯菲尼“證明”中還用到了一個未加證明的關鍵性命題,後稱阿貝爾定理．該定理說,如果一個代數方程能用根式求解,則出現在根的表示式中的每個根式,一定可以表成方程諸根及某些單位根的有理函式．阿貝爾就是應用這個定理證明高於四次的一般方程不能有根式解的．上面所說的阿貝爾定理,也就是“置換群”的思想.他在進一步思考哪些方程（比如x^n-1=0)才可用根式解的問題的時候,阿貝爾證明了下述定理：對於一個任意次的方程,如果方程所有的根都可用其中的一個根有理地表出(我們用x表示),並且任意兩個根Q(x)與Q1(x)(這裡Q,Q1均為有理函式),滿足關係QQ1(x)=Q1Q(x),那麼所考慮的方程總是代數可解的．或者說,根xi=Q1(Xi),Q2(Xi),…,Qn(Xi)是根x1,x2,…,xn的一個置換．方程根進行這樣置換的個數是n．阿貝爾考慮並證明了這些置換的性質,這就是“置換群”.阿貝爾遺作中有一篇值得深入研究的未完成的手稿,即“關於函式的代數解法”(Sur la résolution algébrique des fonctions,1839)．文中敘述了方程論的發展狀況,重新討論了特殊方程可解性的問題,為後來E·伽羅瓦(Galois)遺作的出版開闢了道路．在前言部分,阿貝爾暗示出一種重要的思維方法,他認為解方程之前,應首先證明其解的存在性,這樣可使整個過程避免“計算的複雜性”．在代數方程可解性理論研究中,他還提出了一個研究綱領,就是在他的工作中需要解決兩類問題：一是構造任意次數的代數可解的方程；二是判定已知方程是否可用根式求解．他試圖全部刻畫可用根式求解的方程的特性．但因早逝而沒能完成這個工作,他只解決了第一類問題．幾年後,伽羅瓦接過他的工作,用群的方法徹底解決了代數方程的可解性理論問題,從而建立了現在所謂的伽羅瓦理論．關於伽羅瓦的群結構思想