證明：設S系相對S"系沿x軸正向以速度u運動，物質在S系中以速度v[v(x),v(y),v(z)]運動，其能量為E=Eo/√(1-v^2/c^2)，則由相對論速度變換，物質在S"系中的速度為

v"(x")=[v(x)-u]/[1-uv(x)/c^2]=[v(x)-u]/[1-v*u/c^2],

v"(y")=v(y)√(1-u^2/c^2)/[1-v*u/c^2],

v"(z")=v(z)√(1-u^2/c^2)/[1-v*u/c^2].

因 v"^2=v"(x")^2+v"(y")^2+v"(z")^2

=[v(x)^2-2v*u+u^2+v(y)^2(1-u^2/c^2)+v(z)^2(1-u^2/c^2)]/[1-v*u/c^2]^2

=[u^2-2v*u+v^2-(uv)^2/c^2+(u*v)^2/c^2]/[1-v*u/c^2]^2

故 1-v"^2/c^2=(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)/[1-v*u/c^2]^2

於是物質在S"系中的能量為

E"=Eo/√(1-v"^2/c^2)=Eo(1-v*u/c^2)/√[(1-u^2/c^2)(1-v^2/c^2)]

=E(1-v*u/c^2)/√(1-u^2/c^2)

=γE(1-u*v/c^2).

上式對任意粒子都成立。在這裡，S為光源所在參照系，S"為觀察者所在參照系，E為光子能量(E=hν)，v"=v=c，將E=hν代入得：

ν"=γν(1-u*v/c^2)=γν（1-ucosθ/c）.