我們把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…}等全體非負整陣列成的數集合稱為“自然數”。把{1，2，3，…，9，10}向前擴充得到正整數{1，2，3，…，9，10，11，…}，把它反向擴充得到負整數{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1}，介於正整數和負整數中間的“0”為中性數；把它們合在一起，得到{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，9，10，11，…}，叫做整數。對整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。整數，對加、減、乘運算組成了一個封閉的數集合，是數學古老分支“數論”研究的物件。著名的德國數學家高斯說：“數學是科學的皇后，數論是數學中的CROWN”。德國數學家、數學王子高斯（Gauss，1777——1855）除法運算，如7/11=0.636363…、11/7=1.5714285…，不再是整數，也就是說整數對除法運算是不封閉的。為了使數集合對加、減、乘、除四則運算都是封閉的，就必須增加新的數，如7/11、11/7，為兩個整數之比，稱為可比數、分數，現在通稱為有理數。把數的性質、數和數之間的四則運算在應用過程中的經驗進行總結和整理，形成最古老的一門數學——算術。有理數集合，對加、減、乘、除四則運算組成了一個封閉的數集合，看起來似乎已很完備。2500多年前，不少人、甚至當時一些數學家也是這樣看的。公元前５世紀，當時的畢達哥拉斯學派很重視整數，想用它說明一切，“數是萬物之本”成了他們的哲學觀。畢達哥拉斯學派的學生希帕索斯在研究1和2的比例中項x時，由1/x=x/2，得到代數方程x2=2（1）在（1）中引入的x，代表我們暫時還不知道一個數，稱為未知數。對（1）求解，得到x=。顯然，1<x<2，不是整數；經證明，不能表成兩個整數之比，也不是有理數；這就是後來稱為“無理數”的數。無理數的發現，對以整數為基礎的畢氏哲學，是一次致命的打擊，數學史上把這件事稱為“第一次數學危機”。在之後，又發現了很多無理數，圓周率π就是其中最重要的一個。15世紀義大利著名畫家達·芬奇把它稱之為“無理之數”。現在，人們把有理數和無理數合併在一起，稱為“實數”。把方程（1）中2換成-2時，得到x2=-2（2）由此得到兩個解：x1=和x2=-，它們還是（2）的解嗎？如果認為不是，（2）就沒有解，解方程如同走進了死衚衕。為解決這一問題，數學家不得不再次擴大數的範圍，引入符號“”表示“－1的平方根”，即i=，稱為虛數；再把實數a、b和虛數結合起來，組成z=形式的數，稱為“複數”。在很長一段時間裡，人們在實際生活中找不到用虛數和複數表示的量，讓人感到有點虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數在水力學、地圖學和航空學上得到了廣泛的應用。這樣，數的家族就進一步擴大，包括實數和複數兩大類，並把加、減、乘、除的四則算術運算擴充套件到包括乘方和開方的六種代數運算，形成了數學中一個新的分支“代數”。代數進一步向兩個方面發展，一是研究未知數更多的一次方程組，引進矩陣、向量、空間等符號和概念，形成“線性代數”；另一是研究未知數次數更高的高次方程，形成“多項式代數”。這樣，代數研究的物件，不僅是數，還包括矩陣、向量、向量空間及其變換等。它們都可以進行“運算”，雖然也叫做加法或乘法，但是關於數的基本運算定律，有時不再有效。因此，代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些代數結構的集合，如群、環、域等，又含抽象代數、布林代數、關係代數、計算機代數等眾多分支。由於科學技術發展的需要，數的範圍不斷擴大，從正整數、自然數、整數、實數到複數，再到向量、張量、矩陣、群、環、域等不斷的擴充與發展。為區別起見，人們把實數和複數稱為“狹義數”，把向量、張量、矩陣等稱為“廣義數”。儘管人們對數如何分類還有一些不同的看法，但都承認數的概念還會不斷擴充和發展。到目前為止，數的家族已發展得十分龐大，可表示為
我們把{0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、…}等全體非負整陣列成的數集合稱為“自然數”。把{1，2，3，…，9，10}向前擴充得到正整數{1，2，3，…，9，10，11，…}，把它反向擴充得到負整數{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1}，介於正整數和負整數中間的“0”為中性數；把它們合在一起，得到{…，-11，-10，-9，…，-3，-2，-1，0，1，2，3，…，9，10，11，…}，叫做整數。對整數可以施行加、減、乘、除四種運算，叫做四則運算。整數，對加、減、乘運算組成了一個封閉的數集合，是數學古老分支“數論”研究的物件。著名的德國數學家高斯說：“數學是科學的皇后，數論是數學中的CROWN”。德國數學家、數學王子高斯（Gauss，1777——1855）除法運算，如7/11=0.636363…、11/7=1.5714285…，不再是整數，也就是說整數對除法運算是不封閉的。為了使數集合對加、減、乘、除四則運算都是封閉的，就必須增加新的數，如7/11、11/7，為兩個整數之比，稱為可比數、分數，現在通稱為有理數。把數的性質、數和數之間的四則運算在應用過程中的經驗進行總結和整理，形成最古老的一門數學——算術。有理數集合，對加、減、乘、除四則運算組成了一個封閉的數集合，看起來似乎已很完備。2500多年前，不少人、甚至當時一些數學家也是這樣看的。公元前５世紀，當時的畢達哥拉斯學派很重視整數，想用它說明一切，“數是萬物之本”成了他們的哲學觀。畢達哥拉斯學派的學生希帕索斯在研究1和2的比例中項x時，由1/x=x/2，得到代數方程x2=2（1）在（1）中引入的x，代表我們暫時還不知道一個數，稱為未知數。對（1）求解，得到x=。顯然，1<x<2，不是整數；經證明，不能表成兩個整數之比，也不是有理數；這就是後來稱為“無理數”的數。無理數的發現，對以整數為基礎的畢氏哲學，是一次致命的打擊，數學史上把這件事稱為“第一次數學危機”。在之後，又發現了很多無理數，圓周率π就是其中最重要的一個。15世紀義大利著名畫家達·芬奇把它稱之為“無理之數”。現在，人們把有理數和無理數合併在一起，稱為“實數”。把方程（1）中2換成-2時，得到x2=-2（2）由此得到兩個解：x1=和x2=-，它們還是（2）的解嗎？如果認為不是，（2）就沒有解，解方程如同走進了死衚衕。為解決這一問題，數學家不得不再次擴大數的範圍，引入符號“”表示“－1的平方根”，即i=，稱為虛數；再把實數a、b和虛數結合起來，組成z=形式的數，稱為“複數”。在很長一段時間裡，人們在實際生活中找不到用虛數和複數表示的量，讓人感到有點虛無縹緲。隨著科學的發展，虛數在水力學、地圖學和航空學上得到了廣泛的應用。這樣，數的家族就進一步擴大，包括實數和複數兩大類，並把加、減、乘、除的四則算術運算擴充套件到包括乘方和開方的六種代數運算，形成了數學中一個新的分支“代數”。代數進一步向兩個方面發展，一是研究未知數更多的一次方程組，引進矩陣、向量、空間等符號和概念，形成“線性代數”；另一是研究未知數次數更高的高次方程，形成“多項式代數”。這樣，代數研究的物件，不僅是數，還包括矩陣、向量、向量空間及其變換等。它們都可以進行“運算”，雖然也叫做加法或乘法，但是關於數的基本運算定律，有時不再有效。因此，代數學的內容可以概括稱為帶有運算的一些代數結構的集合，如群、環、域等，又含抽象代數、布林代數、關係代數、計算機代數等眾多分支。由於科學技術發展的需要，數的範圍不斷擴大，從正整數、自然數、整數、實數到複數，再到向量、張量、矩陣、群、環、域等不斷的擴充與發展。為區別起見，人們把實數和複數稱為“狹義數”，把向量、張量、矩陣等稱為“廣義數”。儘管人們對數如何分類還有一些不同的看法，但都承認數的概念還會不斷擴充和發展。到目前為止，數的家族已發展得十分龐大，可表示為