公元前4世紀，歐幾里得寫《幾何原本》，把古希臘一些幾何思想組成一個數學系統，他沒有意識到自己正在建立第一個數學世界。

數學世界和它們的元素是很豐富的。

算術世界的元素是數。

代數世界的元素是變數。

歐氏幾何世界元素點、線、面及各種形狀，如三角形，四邊形等。

拓撲學元素是洛比烏斯圈和網路等。

分形學元素是連續變化的物件。

這些數學分支學科一起形成數學宇宙，這個宇宙的存在可以不依賴於天文學宇宙，然而數學宇宙卻可以描述並解釋天文學宇宙。

每一個數學世界存在於一個數學系統之中。這個系統規定了它的世界中物體存在的基本法則。一個數學系統，由一些基本元素組成，這些元素被稱為未定義項。這些項可以被描述，使人們感覺感到它們的意義是什麼。可是在技術上，它們不能被定義。為什麼呢，因為形成定義必須從一些術語開始。對於這些開始的術語來說，可以用來定義它們的其它術語是不存在的。舉個例子，幾何原本第一卷中第一個定義“點是沒有部分的”。這個部分就是未定義項。我們如何理解這個定義呢，其實用筆畫出就算是再小的“點”也是有部分的，所以說學習幾何要有抽象思維。經過抽象思維，我們可以理解點、線、面的含義，並在腦海中形成印象。在歐氏幾何第一卷中，有23個定義、五個公設、五個公理。我個人觀點，其中的點、線、平面可以理解成未定義項。除未定義項外，一個數學系統，還有公理（公設）、定理和定義。還有公理（公設）是我們不經證明，便認定為真的思想。定義是我們用未定義項或之前的描述的新形象。定理是我們是必須運用現成的公理、定義、定理加以證明的思想。

舉一個例子，幾何原本第一個命題“在一個已知直線上作一個等邊三角形”。咱們一想，這不是很顯而易見的嗎。的確是顯而易見的，但觀察和直覺並不是數學思維。在這個命題的證明過程中用到了公設3“以任意點為心及任意長的距離可以畫圓。”公設1“由任意點到另外任意點可以畫直線”定義15也就是圓的定義和公理一“等於同量的量彼此相等。”證明命題2的時候引用到了被證明正確了的命題1（也就是定理1）。以此類推，包括勾股定理的證明過程都是如此。此外關於第五公設，前面講道的非歐幾何，也是同樣的研究思路。我所說的其實就是公理化體系。

追源於人類生產勞動，如打了幾隻野豬…，把繩打結，數一數。從山洞，從森林走出來，要搭個避風躲雨房子。到耕種土地的大小面積，到物與物交換。從太陽昇起到日落，記勞動守獵時間長短。一年一迴圈，來記人的歲數等。這就是教學世界起始。隨著生產勞動活動，社會交往的發展，十進位制，一年四季，十二月等在人類思維中站住，形成概念，…數學世界就由然而形成。

一開始的數學世界並不像我們現在所學的數學這樣毫無漏洞，符合邏輯的學科；這經歷了經驗到實用到理論最後公理化階段，公理化是數學的基石，是數學得以輝煌發展的重要手段．下面我重點分析這些過程：

經驗到應用：從最遠古的原始社會開始，人類從結繩記事開始使用數學，當然這一階段停留在經驗與實用階段；發明了十進位制計數，使得數學的實用發展到極致，一般用於計數、計量等方面；

實用到理論：在數學發展上，人類並不侷限於實用階段，而是在實用階段遇到巨大瓶頸時透過數學邏輯推理與計量上升，從而得到更加實用的數學理論；例如勾股定理的發現，雖然在實際生活中很多例項，但是要放之四海而皆準的理論並沒有總結出來；當然並非易事，第一次數學危機就因為無理數的發現而產生，初步解決是引入無理數的定義（無限不迴圈小數），當然在當時已經是石破天驚的事情；

公理化階段主要是數學發展到一定階段的必然產物，數學的根本就是這些公理；例如皮亞若的五條公理建立了數學世界裡的基本計數．歐幾里德幾何的五條公理建立了平面幾何的根基，使得這數學在公理之上發展更大遠大．