例子：證明根號2是無理數： 證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質） 所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2 所以 m^2/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數） 所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶數 因為 m、n互質 所以矛盾，即根號2不是有理數，它是無理數。擴充套件資料：在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，後者是由整數的比率（或分數）構成的數字。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測量”，即沒有長度（“度量”）。常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，尤拉數e，黃金比例φ等等。可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進位制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重複，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進位制表示從3.141592653589793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重複。必須終止或重複的有理數字的十進位制擴充套件的證據不同於終止或重複的十進位制擴充套件必須是有理數的證據，儘管基本而不冗長，但兩種證明都需要一些工作。數學家通常不會把“終止或重複”作為有理數概念的定義。無理數也可以透過非終止的連續分數來處理。無理數是指實數範圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進位制下的無限不迴圈小數，如圓周率、根號2等。而有理數由所有分數，整陣列成，總能寫成整數、有限小數或無限迴圈小數，並且總能寫成兩整數之比，如21/7等。
例子：證明根號2是無理數： 證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質） 所以 （m/n）^2=根號2 ^2 =2 所以 m^2/n^2=2 所以 m^2=2*n^2 所以 m^2是偶數，設m=2k（k是整數） 所以 m^2=4k^2=2n^2 所以 n^2=2k^2 所以 n是偶數 因為 m、n互質 所以矛盾，即根號2不是有理數，它是無理數。擴充套件資料：在數學中，無理數是所有不是有理數字的實數，後者是由整數的比率（或分數）構成的數字。當兩個線段的長度比是無理數時，線段也被描述為不可比較的，這意味著它們不能“測量”，即沒有長度（“度量”）。常見的無理數有：圓周長與其直徑的比值，尤拉數e，黃金比例φ等等。可以看出，無理數在位置數字系統中表示（例如，以十進位制數字或任何其他自然基礎表示）不會終止，也不會重複，即不包含數字的子序列。例如，數字π的十進位制表示從3.141592653589793開始，但沒有有限數字的數字可以精確地表示π，也不重複。必須終止或重複的有理數字的十進位制擴充套件的證據不同於終止或重複的十進位制擴充套件必須是有理數的證據，儘管基本而不冗長，但兩種證明都需要一些工作。數學家通常不會把“終止或重複”作為有理數概念的定義。無理數也可以透過非終止的連續分數來處理。無理數是指實數範圍內不能表示成兩個整數之比的數。簡單的說，無理數就是10進位制下的無限不迴圈小數，如圓周率、根號2等。而有理數由所有分數，整陣列成，總能寫成整數、有限小數或無限迴圈小數，並且總能寫成兩整數之比，如21/7等。