在數軸上若能表示所有有理數和無理數的話，從理論上講有理數與無理數的比例可以是任何比例，也可以是正比例，也可以是反比例。個人能力有限不能展開論述。

有理數的勢是No，無理數的勢是連續統c。有理數比無理數少的多，少了No的No次方個。什麼“葛朗臺數”，什麼“Tree數”，什麼比宇宙都大的什麼“冪塔數”，都沒法與c可比！

現在數的個數，包括拓撲中的元素個數的研究和表達，也開始衍生出一門數學分支了。這裡的學問很大，說不好，有興趣的人去研究吧。

本題：要麼挺有意思，即有解，前提是不要涉及無窮大或無窮小；要麼不可思議，即無解，前提是必須涉及無窮大或無窮小。

▲那些高智商的悖論與不可能的圖片，您知道的有哪些？實數範圍，有一個絕對零悖論

大家知道，第二次數學危機，是指凡是涉及無窮小的任何參量都可能導致不存在或無意義。

這個危機原因在於，若一個實數x涉及無窮小，即：dx=1/∞→0，則會涉及絕對零“0”。

這裡的0=Ø=虛無——作為純數學理念——在現實世界中是“不存在”的，也是無意義的。

在量子力學中，把量子歸於零維質點，即量子體積v=0=Ø，導致密度無窮大災難；在廣義相對論中，把空間歸於純幾何彎曲空間，即真空質量m=0=Ø，導致超距作用災難。

可見，在數學世界裡，零0與空集Ø，有時是同一個意思。雖然集合論規定零屬於實數集，空集不屬於實數集。但是這個規定在許多問題裡幾乎沒什麼約束力。

▲這張平面圖，你可能感覺是三維的。實數分類，有一個機率學悖論

在實數集範圍內，就機率而言，任意一個實數，可能是有理數，也可能是無理數，可選擇機率各有50%。

其一方面，這與常識——有理數是離散的少數，而無理數是連續的多數——是不一致的。

另一方面，根據定義，無理數小數部分是無限不迴圈小數，有理數小數部分是可迴圈小數，它們都可以寫成：

f(x)=0.x₁x₂,...,xₙ

=10⁻¹x₁+10⁻²x₂+,...,10⁻ⁿxₙ

=Ω+dx，其中，

Ω=10⁻¹x₁+10⁻²x₂+,...,是有理數；

dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)是一個無窮小量。

可見，任意無理數的小數部分，總可等於有理數Ω與無窮小量dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)之和。

這個無窮小量的係數xₙ，不外乎是不大於9的自然數之一，即：xₙ∈{1,2,3,4,5,6,7,8,9}。

不管是有理數還是無理數，其無窮小量的極限都是零，dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)≈0，有兩個取向：

就有理數而言，xₙ是唯一確定的，對應的dx是有理數，這大概是有理數的本質。

就無理數而言，xₙ是不可確定的，對應的dx是無理數，這大概是無理數的本質。

換句話說，要麼出現有理數(R=Ω+dx)，要麼出現無理數(I=Ω+dx)，它們的機率都是50%。

而就f(x)的有理數部分(Ω)，有理數(R)與無理數(I)的數值是一樣一樣的；因為無窮小量部分(dx)沒什麼實際意義。

由此我們不妨說，就機率學而言，實數集中的有理數與無理數的個數比例是1:1。

故我們若把有理數假設為純小數x，相關的無理數假設為sinx=sin(π/n)(n>π)，有理數所含無窮小量為dx=10⁻ⁿxₙ(n→∞)，無理數所含的無窮小量dx=d(sinx)=d(sin(π/n)(n>π))。

由於d(sinx)/dx=limsinx/x(x→0)=1，可見，有理數的實質部分dx與無理數實質部分d(sinx)，就實用數值而言，沒什麼區別。

換句話說，有理數與無理數的機率是完全平權的，所謂“有理數離散vs無理數連續”，不過是數學哲學理念上的“意淫”而已。

必須清醒認識到，現實世界絕不存在完備的數學關係，天體的繞旋軌道，沒有一個是封閉的橢圓，更不是理想的圓圈。粒子的軌跡本該是連續的，可是測量結果似乎是躍遷式的。

▲夸克環的半徑是質子的半徑嗎？氕原子的原子核的半徑究竟如何確定？有無理數意義嗎？

在物理世界，只要測量單位足夠小，測量精度足夠精細，例如精度在10⁻⁷象如3.1415926之有理數，相比於π，都可以認為是連續值。

事實上，精確性尺度要與測量物件相對應，並不是越精細越好，這裡還涉及人擇原理。

▲小質量的天體，真的是嚴格按封閉的橢圓軌道圍繞大質量天體焦點迴圈的嗎？難道大質量天體就固定在那裡一動不動的麼？這與有理數與無理數的區別有什麼瓜葛呢？

例如，測量海岸線，我們通常用千米，這樣可以忽略精細結構的彎彎曲曲。

本來以[千米]精度測量的1萬千米海岸線，如果以[微米]精度，其測量結果可能是100萬千米。

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