設點M是焦點在y軸上的雙曲線上任意一點，焦距|F1F2|=2c，||MF1|-|MF2||=2a，其中c>a>0那麼焦點座標為下焦點F1(0,-c)，上焦點F2(0,c)所以有：|MF1|=根號[x2+(y+c)2]，|MF2|=根號[x2+(y-c)2]則由|MF1|-|MF2|=±2a可得：根號[x2+(y+c)2]-根號[x2+(y-c)2]=±2a移項得：根號[x2+(y+c)2]=±2a+根號[x2+(y-c)2]兩邊平方得：{根號[x2+(y+c)2]}2={±2a+根號[x2+(y-c)2]}2x2+(y+c)2=4a2±4a根號[x2+(y-c)2]+x2+(y-c)24cy=4a2±4a根號[x2+(y-c)2]cy-a2=±a根號[x2+(y-c)2]再次兩邊平方得：c2y2-2cya2+a的4次冪=a2[x2+(y-c)2]c2y2-2cya2+a的4次冪=a2x2+a2y2-2cya2c+a2c2(c2-a2)y2-a2x2=a2c2-a的4次冪即(c2-a2)y2-a2x2=a2(c2-a2)(*)由於c>a>0，所以不妨令c2-a2=b2，b>0上述(*)式可化為：b2y2-a2x2=a2b2則可得：y2/a2-x2/b2=1這就是所求的焦點在y軸的雙曲線的標準方程。