只有有限個元素的群稱為有限群。
群中部分元素對於原來的運算也組成一個群，叫做群的子群。
有些子群“除”原來的群，得到的也是一個群。這樣的子群叫做正規子群。
將正規子群和商群看成群的一種分解的話，那麼必定有著不能被繼續分解的群，將之稱為單群。
共有18個有限單群家族：
交錯群A_n對於所有n>=5都是單群，從而不是可解群。
素數階的迴圈群Z_p，它們也是唯一的交換單群。
還有16族所謂的有限李群，它們可以看作離散域上的矩陣組成的群。
除了這一共18個有限單群家族之外，還有26個單獨存在的有限單群。它們不屬於任何一個家族，而它們之間也沒有一個統一的聯絡，三三兩兩各自放浪於數學天地之間。數學家給他們起了個相當適合的名字：散在單群。
最大的散在單群——魔群（Monster Group）“魔群”這個名字源於它龐大的體積。魔群的準確元素個數是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*10^53個。與之相比，太陽系的原子個數也就是大約10^57個，僅僅高了兩個數量級。如果我們用線性空間和矩陣變換來表示魔群的話，至少需要一個196883維的線性空間，才能忠實表達魔群的整體結構。這種表達方式又被稱為群的線性表示。
1982年，Griess提出了一個名為Griess代數的代數結構，而魔群恰好就是這個代數結構的自同構群。換句話說，魔群恰好刻畫了Griess代數的所有對稱性。值得一提的是，Griess代數的維度是196884，比196883多1。
如果說每一族單群和每一個散在單群代表一種對稱性的話，那麼魔群一定有著非同尋常的對稱性。體積如此龐大的群，卻仍然是一個不可分解的單群，這本來就是個奇蹟；而且與那些成系列的量產型單群不同，它的結構和對稱性還是獨一無二的。
在模形式理論中，有一個特殊的函式佔據著相當重要的地位，它叫j不變數。它的歷史也不短，各種性質已經被數學家們研究得相當透徹了，也為模形式理論的發展立下過汗馬功勞。它可以乾淨利落地展開成如下的傅立葉級數，其中每個係數都是整數：
第二個傅立葉係數196884，正好是Griess代數的維數，也就是魔群的最小忠實線性表示的維數加1。 j不變數的其它傅立葉係數也與魔群的所謂不可約表示的維數有著緊密的聯絡：這些傅立葉係數恰好可以表示成不可約表示維數的一些簡單的線性組合。 在這些基礎上，Conway和Norton提出了“魔群月光猜想”。 他們猜想，存在一個基於魔群的無限維代數結構，透過魔群的不可約線性表示，它恰好給出了j不變數的所有傅立葉係數，而魔群每一個元素在這個代數結構上的作用，都自然地給出了與某個群相關的模形式。
不久，數學家們構造出了一個被稱為魔群模（Monster Module）的特殊代數結構，被認為極有可能是滿足魔群月光猜想的那個代數結構。要構造這個代數結構，首先要從一個名為Leech格的代數結構開始（順帶一提，這個代數結構有著特殊的對稱性，可以構造出數個散在單群），構造一個24維的環面。在這個環面上的玻色弦理論，透過共形場論中的頂點運算元來表達，就是魔群模。換句話說，聯絡著有限群論中的魔群與數論中的j不變數的魔群模，實際上是一個高維空間中的弦理論，表達的是某個高維空間中的可能的物理理論。
證明魔群模的確滿足魔群月光猜想。在1992年由Brocherds完成，證明同時包含了數學和物理，其中用到了弦論中的 No-ghost定理來構造證明中必不可少的一個代數結構，Brocherds也由於這個證明獲得了菲爾茲獎。透過這個定理架起的橋樑，數學家們也發現了魔群、模函式和絃理論之間更多的千絲萬縷的聯絡。
只有有限個元素的群稱為有限群。
群中部分元素對於原來的運算也組成一個群，叫做群的子群。
有些子群“除”原來的群，得到的也是一個群。這樣的子群叫做正規子群。
將正規子群和商群看成群的一種分解的話，那麼必定有著不能被繼續分解的群，將之稱為單群。
共有18個有限單群家族：
交錯群A_n對於所有n>=5都是單群，從而不是可解群。
素數階的迴圈群Z_p，它們也是唯一的交換單群。
還有16族所謂的有限李群，它們可以看作離散域上的矩陣組成的群。
除了這一共18個有限單群家族之外，還有26個單獨存在的有限單群。它們不屬於任何一個家族，而它們之間也沒有一個統一的聯絡，三三兩兩各自放浪於數學天地之間。數學家給他們起了個相當適合的名字：散在單群。
最大的散在單群——魔群（Monster Group）“魔群”這個名字源於它龐大的體積。魔群的準確元素個數是808017424794512875886459904961710757005754368000000000，也就是大概8*10^53個。與之相比，太陽系的原子個數也就是大約10^57個，僅僅高了兩個數量級。如果我們用線性空間和矩陣變換來表示魔群的話，至少需要一個196883維的線性空間，才能忠實表達魔群的整體結構。這種表達方式又被稱為群的線性表示。
1982年，Griess提出了一個名為Griess代數的代數結構，而魔群恰好就是這個代數結構的自同構群。換句話說，魔群恰好刻畫了Griess代數的所有對稱性。值得一提的是，Griess代數的維度是196884，比196883多1。
如果說每一族單群和每一個散在單群代表一種對稱性的話，那麼魔群一定有著非同尋常的對稱性。體積如此龐大的群，卻仍然是一個不可分解的單群，這本來就是個奇蹟；而且與那些成系列的量產型單群不同，它的結構和對稱性還是獨一無二的。
在模形式理論中，有一個特殊的函式佔據著相當重要的地位，它叫j不變數。它的歷史也不短，各種性質已經被數學家們研究得相當透徹了，也為模形式理論的發展立下過汗馬功勞。它可以乾淨利落地展開成如下的傅立葉級數，其中每個係數都是整數：
第二個傅立葉係數196884，正好是Griess代數的維數，也就是魔群的最小忠實線性表示的維數加1。 j不變數的其它傅立葉係數也與魔群的所謂不可約表示的維數有著緊密的聯絡：這些傅立葉係數恰好可以表示成不可約表示維數的一些簡單的線性組合。 在這些基礎上，Conway和Norton提出了“魔群月光猜想”。 他們猜想，存在一個基於魔群的無限維代數結構，透過魔群的不可約線性表示，它恰好給出了j不變數的所有傅立葉係數，而魔群每一個元素在這個代數結構上的作用，都自然地給出了與某個群相關的模形式。
不久，數學家們構造出了一個被稱為魔群模（Monster Module）的特殊代數結構，被認為極有可能是滿足魔群月光猜想的那個代數結構。要構造這個代數結構，首先要從一個名為Leech格的代數結構開始（順帶一提，這個代數結構有著特殊的對稱性，可以構造出數個散在單群），構造一個24維的環面。在這個環面上的玻色弦理論，透過共形場論中的頂點運算元來表達，就是魔群模。換句話說，聯絡著有限群論中的魔群與數論中的j不變數的魔群模，實際上是一個高維空間中的弦理論，表達的是某個高維空間中的可能的物理理論。
證明魔群模的確滿足魔群月光猜想。在1992年由Brocherds完成，證明同時包含了數學和物理，其中用到了弦論中的 No-ghost定理來構造證明中必不可少的一個代數結構，Brocherds也由於這個證明獲得了菲爾茲獎。透過這個定理架起的橋樑，數學家們也發現了魔群、模函式和絃理論之間更多的千絲萬縷的聯絡。