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  • 1 # 使用者3290470807498

    這是由環的公理化定義決定的。要是沒有基礎,這個說起來不是那麼容易,這個涉及代數基本結構。

    我們小學學習四則運算是按照一定認知規律進行的,加、減、乘、除,一般是這個順序,這個順序正好對應著代數結構由簡單到複雜的過程。

    我們一開始學習加法,這是一個可交換的二元運算(我們記為 ),滿足結合律,有單位元素0,這就構成了一個可交換么半群的代數結構。

    也就是說滿足以下幾條公理的集合就叫做可交換么半群(封閉性是最基礎的,就不提了)

    (1) ;(加法結合律 )

    (2) ;(加法交換律)

    (3) 存在一個元素 ,對於任意元素 ,都有 ;(單位元)

    (注:如果只滿足公理1,就叫半群。如果只滿足公理1、3,就叫么半群。)

    具體到算數里的加法,

    因此,算數里的加法,其實就是一個可交換么半群的代數結構。

    在此基礎上,如果再引入逆元素,相當於就定義了相反數,於是順理成章地就誘匯出加法運算的逆運算——減法。這其實就構成了阿貝爾群的代數結構,除了滿足前面三條公理之外,還要滿足第四個公理:

    (4) 對於任意元素 ,都存在一個與之相對應的元素 ,使得

    具體到算數里,就是相反數定義

    (注:如果只滿足公理1、3、4,就叫做群)

    以此為基礎,就可用加法和逆元素來定義減法: ,減法是由加法誘匯出來的。因此我們可以說,算數加、減法其實就是一個阿貝爾群的代數結構

    小學學習了 加減法之後,就要開始學習乘法。這其實是在前面的基礎上再引入一個新的二元運算(我們記為 ),該運算滿足結合律(封閉性是最基礎的,就不提了),( )合在一起還滿足分配率,這就構成了環的代數結構。因此環除了滿足上述四條公理外,還滿足以下兩條公理:

    (5) (乘法結合律)

    (6) (右分配律)

    (左分配律)

    如果對於運算 還滿足交換律,則稱為交換環:

    (7) (乘法交換律)

    如果交換環還滿足:(8) 對於任意元素都有 ( 為 運算的單位元,見公理(3))

    則稱此交換環具有零因子。對應於算數里的

    因此我們可以說,算數加、減、乘法其實就構成了具有零因子的交換環的代數結構。

    現在我們已經建立了環的代數結構,下面我要開始證明為何負負得正

    (利用了公理4) (零因子定義(8))

    (利用了公理6)

    (等式兩邊加 並利用公理4)

    記以上等式為等式1,此等式其實就是在說正負得負

    再繼續

    所以 (利用了公理6)

    又因為等式1,所以

    等式兩邊同時加 得到 (利用了公理4)

    於是證明了負負得正。

    從證明中可看出,公理3、公理4、公理6,以及零因子存在這四個因素共同作用造成的負負得正,正負得負

    補充:如果對於 運算,非零元還存在逆元素,相當於定義了倒數,由此可誘匯出乘法的逆運算——除法。這就構成了域的代數結構。

    我們可以說,算數中能進行加、減、乘、除四則運算就構成了域的代數結構

    對於小學初中學過的各種數集,諸如正數、負數、整數、小數、有理數、無理數、實數、虛數、複數之類,只有有理數、實數、複數才能構成域。(正數對減法不封閉,整數對除法不封閉)

  • 中秋節和大豐收的關聯?
  • 現在已經立春了,今年還會冷嗎,會有倒春寒嗎?