微分方程y″+y=x+cosx對應的齊次微分方程為y""+y=0

特徵方程為t2+1=0

解得t1=i，t2=-i

故齊次微分方程對應的通解y=C1cosx+C2sinx

因此，微分方程y″+y=x+cosx對應的非齊次微分方程的特解可設為y*=ax+b+x（csinx+dcosx）

y*"=a+csinx+dcosx+cxcosx-dxsinx

y*""=ccosx-dsinx+ccosx-cxsinx-dsinx-dxcosx

將y*，y*"，y*""代入微分方程y″+y=x+cosx消去即可得到：

ax+b+2ccosx-2dsinx=x+cosx

則有：

a=1

b=0

2c=1

-2d=0

即

a=1

b=0

c=1/2

d=0

所以，非齊次微分方程的特解為y*=x+（1/2）xsinx

由於非齊次微分方程的通解=齊次微分方程的通解+非齊次微分方程的特解

所以，微分方程y″+y=x+cosx的通解為y+y*=C1cosx+C2sinx+x+（1/2）xsinx．

參考資料：