矩陣相似與矩陣合同具體的不同點在於：

矩陣相似的例子中，P-1AP=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是二者有相等的不變因子；可看作是同一線性變換在不同基下的矩陣；矩陣相似必等價，但等價不一定相似。

2. 矩陣合同的例子中，CTAC=B；針對方陣而言；秩相等為必要條件；本質是秩相等且正慣性指數相等，即標準型相同；可透過二次型的非退化的線性替換來理解；矩陣合同必等價，但等價不一定合同。

3. 總結：矩陣的相似和矩陣的合同都是由線性空間中座標系的轉換引起的。我們線上性空間中定義矩陣和向量的乘法，並將矩陣理解成線性空間中“運動”的施加，變換座標系之後，同一個“運動”在不同座標系下是相似的關係。我們線上性空間中定義向量的內積（或者說雙線性型），同一個雙線性型運算在不同座標系下相差合同矩陣。之所以要換座標系，就是為了在最簡單的座標系下看清問題的本質。

擴充套件資料

一.矩陣相似：

1.概念：

定義1設A,B都是n階矩陣, 若存在 可逆矩陣P,使

P^(-1)AP=B,則稱B是A的相似矩陣, 並稱矩陣A與B 相似。記為A~B.

對進行運算稱為對進行相似變換, 稱可逆矩陣為相似變換矩陣.

矩陣的相似關係是一種等價關係，滿足：

(1) 反身性: 對任意階矩陣,有相似;

(2) 對稱性: 若相似, 則與相似;

(3) 傳遞性: 若與相似, 則與相似。

2.性質：

定理:若n階矩陣A與B相似,則A與B的特徵多項式相同,從 A與B的特徵值亦相同.

相似矩陣的其它性質:

(1) 相 矩陣的秩相等;

(2) 相似矩陣的行列式相等;

(3) 相似矩陣具有相同的可逆性, 當它們可逆時,則它們的逆矩陣也相似。

二. 合同矩陣 ：

1.定義:同矩陣：設A,B是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣C，使得則稱 方陣A與B合同，記作。

線上性代數，特別是二次型理論中，常常用到矩陣間的合同關係。一般線上代問題中，研究合同矩陣的場景是在二次型中二次型用的矩陣是 實對稱矩陣。兩個實對稱矩陣合同的充要條件是它們的正負慣性指數相同。由這個條件可以推知，合同矩陣等秩。

2.性質：

合同關係是一個等價關係，就是說滿足：1、 反身性：任意矩陣都與其自身合同；2、 對稱性： A合同 B，則可以推出 B合同於 A；3、 傳遞性： A合同於B，B合同於C，則可以推出 A合同 C；4、合同矩陣的 秩相同。

3.矩陣合同的主要判別法：

（1）B均為複數域上的n階對稱矩陣,則A與B在 複數域上合同 等價於A與B的秩相同.

（2）B均為實數域上的 n階對稱矩陣,則A與B在實數域上合同等價於A與B有相同的正、負慣性指數（即正、負的個數對應相等）。

參考資料

這句話是不對的,相似實質是看一個矩陣能否對角化的問題,沒有衝要條件,只有必要條件,透過必要條件排除然後對角化,而合同可以透過判斷正負慣性指數獲得啊``````````並不能說相似就合同 這句話是不對的,相似實質是看一個矩陣能否對角化的問題,沒有衝要條件,只有必要條件,透過必要條件排除然後對角化,而合同可以透過判斷正負慣性指數獲得啊``````````並不能說相似就合同