迄今為止，人類發現的最大的素數是 2的24036583方-1，這是第 41 個 梅森(Mersenne)素數。 素數也叫質數，是隻能被自己和 1 整除的數，例如2、3、5、7、11等。2500 年前，希臘數學家歐幾里德證明了素數是無限的，並提出少量素數可寫成 “2 的n次方減1” 的形式，這裡 n 也是一個素數。此後許多數學家曾對這種素數進行研究，17 世紀的法國教士馬丁·梅森(Martin Mersenne)是其中成果較為卓著的一位，因此後人將 “2的n次方減1” 形式的素數稱為梅森素數。 第19~41個梅森素數 序號 素數 位數 發現人 時間 41 224036583-1 7235733 John Findley 2004 40 220996011-1 6320430 Michael Shafer 2003 39 213466917-1 4053946 Michael Cameron 2001 38 26972593-1 2098960 Nayan, Woltman, Kurowski 1999 37 23021377-1 909526 Clarkson, Woltman, Kurowski 1998 36 22976221-1 895932 Spence, Woltman 1997 35 21398269-1 420921 Armengaud, Woltman 1996 34 21257787-1 378632 Slowinski & Gage 1996 33 2859433-1 258716 Slowinski & Gage 1994 32 2756839-1 227832 Slowinski & Gage 1992 31 2216091-1 65050 David Slowinski 1985 30 2132049-1 39751 David Slowinski 1983 29 2110503-1 33265 Welsh & Colquitt 1988 28 286243-1 25962 David Slowinski 1982 27 244497-1 13395 Slowinski & Nelson 1979 26 223209-1 6987 L. Curt Noll 1979 25 221701-1 6533 Nickel & Noll 1978 24 219937-1 6002 Bryant Tuckerman 1971 23 211213-1 3376 Donald B. Gillies 1963 22 29941-1 2993 Donald B. Gillies 1963 21 29689-1 2917 Donald B. Gillies 1963 20 24423-1 1332 Alexander Hurwitz 1961 19 24253-1 1281 Alexander Hurwitz 1961 1995 年，美國程式設計師喬治·沃特曼整理有關梅森素數的資料，編制了一個梅森素數計算程式，並將其放置在因特網上供數學愛好者使用，這就是“因特 網梅森素數大搜索”計劃。目前有6萬多名志願者、超過20萬臺計算機參與這項計劃。該計劃採取分散式計算方式，利用大量普通計算機的閒置時間，獲得相當於 超級計算機的運算能力，第 37、38 和 39 個梅森素數都是用這種方法找到的。美國一家基金會還專門設立了 10 萬美元的獎金，鼓勵第一個找到超過千萬位素數的人。具體數字是寫不出來的，因為太大了。。。

目前的結論是質數有無窮多個、也就是不存在最大的質數。著名的證明如下：設Pm為最大質數，P1;P2;P3;…Pm為所有質數、顯然這些質數的乘積即P1P2P3…Pm再加上1就是個奇數（注意：第一個質數是唯一的偶數2、而其它質數均為奇數），顯然這個奇數都不能被所有己知質數整除、所以這個奇數一定是質數、而且比所謂己知最大的質數Pm大得多、這就證明了不存在最大質數。

研究數學必須先研究自然數、這是數學得以存在的基礎、不掌握自然數的規律和內在的法則及組成、數學的其它分支的發展會受到阻礙、著名的黎曼猜想是自然數的重要研究科目、數論中的重要猜想之一、在這個猜想成立的基礎上己研究發現了上千個定律、一旦證明黎曼猜想是不成立的、那麼這一千多個定律也就不復存在，所以講不掌握吃透自然數的規律、其它數學分支可能就是無根之木。而自然數中幾百年還沒研究透的就是質數：質數的分佈規律、從而上升到質數的通項公式、如何判斷一個大奇數是不是質數、如何找出一個大質數、找出梅森數的規律、只有突破現有的研究方法、開拓新的視野、獨創徢徑、從自然數的內在規律下手去研究自然數、才能解決幾百年至今未解的難題哥德巴赫猜想、孿生素數情想、黎曼猜想。

素數不能由更小的整數相乘得到，合數能唯一的分解成幾個素數的乘積。

研究素數更多的是密碼上的需要，如果能找到一個更大的素數，別人不知道的，以此為基礎的密碼，如果要分解為素數的乘積，不是短時間就能找到的。