有兩個未知數要有兩個方程組成的方程組才能有唯一解。在一些應用題中，我們有時根據條件只能得到一個就叫二元不定方程。這時候就要無敵大列舉法湊整數解。我是王老師，致力於小學數學的精品問答！下面我舉例說明下二元一次不定方程解法和應用。

[引例] 小明是採購員，去超市大采購100個雞蛋。每個大盒裝13個雞蛋，小盒裝8個，盒子都裝滿，小明需要幾個盒子？

不定方程：未知數個數>方程個數

根據題意，我們設需要大盒X個，小盒Y個

→ 13X+8Y=100 (x,y肯定是自然數）

一個一個湊吧，必須從X=0開始

① X=0，8Y=100。不符合

② X=1，8Y=87。不符合

(X=奇數肯定不符合，奇偶性分析也很重要）

④ X=4，8Y=48。→ Y=6，是一組解

⑤ X=6，8Y=22。不符合

⑥ X=8，101+8Y=100。101大於100，Stop!

→ 小明需要：4+6=10個盒子。

[引例] 不定方程：20X-14Y=18（X,Y為自然數）

先化簡：10X-7Y=9。湊數開始

① X=0，0-7Y=9。不符合

② X=1，7Y=1。不符合

④ X=3，7Y=21。→ Y=3，是一組解

我們分析10X和7Y增量相同時就能得到一組解。增量只能是7和10的公倍數。

→ X增加7，Y增加10即得到一組解，這就是交叉增量法

X=10，Y=13。符合

X=17，Y=23。又是一組解

……

再結合題目其他條件，比如X,Y的和最小是多少？就可以確定答案了。

你學會了嗎？做道練習題吧！

小明去幫班裡去買練習本，大練習本每本7元，小的每本5元。小明買這兩種練習本總共花了142元。則兩種練習本最少共買了多少本？

二元一次方程有兩個未知數，當一個未知數變化時，另一個未知數也會隨著變化，因為x的取值有無數多個，那麼y的取值也有無數多個與之相對應，那麼方程的解就有無數多個，總結一個規律，當未知數的個數大於方程的個數時，方程有無數多個解，至於怎麼求，只能選定一個x的值，然後把y求出來，這算是方程的一個解，這樣的解有無數多個。

我知道二元一次方程整數解普遍意義的解法，不想信出題來試，我出一題1657709X+13=8585799y求X、y同時為整數的解。不用大計算機，隨你用不定方程還是別的方法一小時內有誰解出。我可以輕鬆解任何二元一次方程整數解的。

首先來認識下二元一次方程和二元一次方程組：

1、含有兩個未知數，並且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程。

2、共含有兩個未知數的兩個一次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組。

在來看下二元一次方程和二元一次方程組的解：

適合一個二元一次方程的一組未知數的值，叫做這個二元一次方程的一個解。

北師大版數學（上冊）第二章學習的內容是“實數”、第三章學習的內容是“位置與座標”、第四章學習的內容是“一次函式”、第五章學習的內容是“二元一次方程組”。

既然學習了“實數”，那麼無論是二元一次方程還是二元一次方程組的解應在實數範圍內考慮，如題目中有特別要求，例如“整數解”那麼解的範圍就在“整數”範圍內考慮。

第三章的“位置與座標”把平面內的點和有序實數對建立了一種一一對應的關係。

第四章“一次函式”的學習，讓我們知道它的影象是一條直線，而這條直線是由無數的點組成的，而一次函式的解析式就是一個二元一次方程。方程的解對應函式影象上的點，函式的影象是由無數的點組成的，所以說二元一次方程的解有無數個。

二元一次方程組中各個方程的公共解，叫做這個二元一次方程組的解。

體現在一次函式的影象中，若兩直線相交方程組肯定有解，而且解是唯一的，平行方程組無解。也就是說二元一次方程組有解的話，解只有一個。

最後來回答下二元一次方程整數解怎麼求？

1、整數分類：

正整數、零、負整數，按（正負零）這三類去分；

一般來說題目中會有限定概念，例如求“正整數解”，不會讓求整數解，二元一次方程的整數解有無數個。

如果題目中沒有限定概念，則會結合實際問題去問，把符合實際意義的解找出來。

2、函式與方程的解的區別：

方程的解帶入方程中從而使等式成立，叫做方程解。

函式是解析式，自變數取一個值，函式有唯一值與之對應，也就是說給出 x 必有唯一的 y 與之相對應。（考慮的是一次函式對應的是二元一次方程）

3、將二元一次方程變形，變成一次函式解析式的形式，透過函式來求方程的整數解。

例題：方程 x + y = 5 的正整數解有幾組？

①將二元一次方程 x + y = 5 變形成 一次函式 y = -x + 5 這種形式；

②確定自變數x的範圍：1、2、3、4 （0不是正整數，x=5時y=0也不符合要求）

所以方程 x + y = 5 的正整數解有四組。

二元一次方程不一定有整數解啊！用求根公式去求解，很簡單的。求出來是整數就是整數，不是就不是。沒有整數解，你非得求它的整數解，對不起，可能沒有人可以滿足你的要求。比如3X^2+5X-1=0，它的解是1/6 和-11/6，怎麼可能憑空捏造出來一個整數解呢？