非常重要的二次遞推數列求法
形如an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)的遞推數列，難度很大。
恕我水平有限，現階段只想出這些特殊情況。
an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)
基本思路透過線性變換（線性變換是最基本的形式簡化方式）xn=an+B/(2A)，即化為完全平方將形式簡化為
xn+1=Axn2+[(4AC-B2+2B)/(4A)]
即簡化形式xn+1=Pxn2+Q(P≠0)
1、Q>0，這個非常難，不幸這個遞推數列方程沒有解析解（即無法透過初等函式來表達，要用無窮級數來表達，用級數表達難度很大，而其本身失去了簡化運算的意義。）
2、Q=0，這個形式最簡單。
兩邊取對數
∴lnxn+1=lnP+2lnxn(xn>0)
lnxn+1+lnP=ln(Pxn+1)=2ln(Pxn)
注意：若x1
{ln(Pxn)}就是等比數列
∴ln(Pxn)=2n-2ln(Px2)
xn=(Px2)^2n-2/P(n>1)
xn=x1(n=1)
△3§Q
先指定其形式為xn+1=Pxn2-Q(P≠0,Q>0)
這種比較難，對於高中生來說能想到線性變換化簡都不錯了，更後面的變換更難想到。這種題高考是考過的，競賽更不用說了。
(1)兩邊同時除以Q/2
變換為2xn+1/Q=PQ/2(2xn/Q)2-2(P≠0,Q>0)
於是形式上變成了
rn+1=krn2-2(k>0)，對於這個遞推形式，容易證明從某項起，這個數列是遞增數列，這兒不再詳細證明。
代換方法是令rn=bn+1/bn，bn+1=bn2（即bn=b1^2n-1）
注意：rn,bn>0，若rn≤0，則要從使得rn>0的第m項rm開始，透過rm=bm+1/bm，算出bm，bn=bm^2n-m。數學需要嚴謹。
前面的項是擺動的，無法直接求。
這個是最簡形式了，這個形式是有解的，可以想想為什麼要化為-2。
下面以一個例子來說明解這種最簡形式的具體求解思路。
例：an+1=an2-2，a1=-51/2。求an。
令an=bn+1/bn。
bn+1+1/bn+1+2=(bn+1/bn)2
注意右邊可化為(bn+11/2+1/bn+11/2)2=(bn+1/bn)2
bn+11/2+1/bn+11/2=bn+1/bn
注意這裡我們只要滿足上面那個等式就行了，具體bn有多少種解我們不關心，所以最簡單，只要bn+11/2=bn就行了。
顯然lnbn+1=2lnbn，{lnbn}是等比數列，注意bn>0，需要an>0來保證，但第二項大於0，所以從第二項起。
lnbn=2n-2lnb2
a2=3=b2+1/b2，取一個根即可b2=(3+51/2)/2
bn=[(3+51/2)/2]^2n-2
an=bn+1/bn=[(3+51/2)/2]^2n-2+[(3-51/2)/2]^2n-2(n≥2)
an=-51/2(n=1)
P
就可化為yn=-Pyn2-Q(P
xn+1=Pxn2+Q(P>0)的形式
△綜上所述：
an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)的遞推數列
都可以透過線性變換將形式化簡成xn+1=Pxn2+Q(P>0)的形式
若Q0)這樣的形式，若m項起xn>0，則透過xn=bn+1/bn，bn=bm^2n-m來求n≥m部分的通項公式（n
非常重要的二次遞推數列求法
形如an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)的遞推數列，難度很大。
恕我水平有限，現階段只想出這些特殊情況。
an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)
基本思路透過線性變換（線性變換是最基本的形式簡化方式）xn=an+B/(2A)，即化為完全平方將形式簡化為
xn+1=Axn2+[(4AC-B2+2B)/(4A)]
即簡化形式xn+1=Pxn2+Q(P≠0)
1、Q>0，這個非常難，不幸這個遞推數列方程沒有解析解（即無法透過初等函式來表達，要用無窮級數來表達，用級數表達難度很大，而其本身失去了簡化運算的意義。）
2、Q=0，這個形式最簡單。
兩邊取對數
∴lnxn+1=lnP+2lnxn(xn>0)
lnxn+1+lnP=ln(Pxn+1)=2ln(Pxn)
注意：若x1
{ln(Pxn)}就是等比數列
∴ln(Pxn)=2n-2ln(Px2)
xn=(Px2)^2n-2/P(n>1)
xn=x1(n=1)
△3§Q
先指定其形式為xn+1=Pxn2-Q(P≠0,Q>0)
這種比較難，對於高中生來說能想到線性變換化簡都不錯了，更後面的變換更難想到。這種題高考是考過的，競賽更不用說了。
(1)兩邊同時除以Q/2
變換為2xn+1/Q=PQ/2(2xn/Q)2-2(P≠0,Q>0)
於是形式上變成了
rn+1=krn2-2(k>0)，對於這個遞推形式，容易證明從某項起，這個數列是遞增數列，這兒不再詳細證明。
代換方法是令rn=bn+1/bn，bn+1=bn2（即bn=b1^2n-1）
注意：rn,bn>0，若rn≤0，則要從使得rn>0的第m項rm開始，透過rm=bm+1/bm，算出bm，bn=bm^2n-m。數學需要嚴謹。
前面的項是擺動的，無法直接求。
這個是最簡形式了，這個形式是有解的，可以想想為什麼要化為-2。
下面以一個例子來說明解這種最簡形式的具體求解思路。
例：an+1=an2-2，a1=-51/2。求an。
令an=bn+1/bn。
bn+1+1/bn+1+2=(bn+1/bn)2
注意右邊可化為(bn+11/2+1/bn+11/2)2=(bn+1/bn)2
bn+11/2+1/bn+11/2=bn+1/bn
注意這裡我們只要滿足上面那個等式就行了，具體bn有多少種解我們不關心，所以最簡單，只要bn+11/2=bn就行了。
顯然lnbn+1=2lnbn，{lnbn}是等比數列，注意bn>0，需要an>0來保證，但第二項大於0，所以從第二項起。
lnbn=2n-2lnb2
a2=3=b2+1/b2，取一個根即可b2=(3+51/2)/2
bn=[(3+51/2)/2]^2n-2
an=bn+1/bn=[(3+51/2)/2]^2n-2+[(3-51/2)/2]^2n-2(n≥2)
an=-51/2(n=1)
P
就可化為yn=-Pyn2-Q(P
xn+1=Pxn2+Q(P>0)的形式
△綜上所述：
an+1=Aan2+Ban+C(A≠0,an≠an+1)的遞推數列
都可以透過線性變換將形式化簡成xn+1=Pxn2+Q(P>0)的形式
若Q0)這樣的形式，若m項起xn>0，則透過xn=bn+1/bn，bn=bm^2n-m來求n≥m部分的通項公式（n