由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。設函式f（x）在點X0的某個鄰域內有定義，如果有則稱函式在點X0處連續，且稱X0為函式的的連續點。設函式在區間內有定義，如果f（x）在x=b的左極限存在且等於f（b）即那麼就稱函式在點b左連續。設函式在區間內有定義，如果f（x）在x=a處右極限存在且等於f（a）即那麼就稱函式f（x）在點a右連續。一個函式在開區間（a，b）內每點連續，則為在（a，b）連續，若又在a點右連續，b點左連續，則在閉區間連續，如果在整個定義域內連續，則稱為連續函式。擴充套件資料連續性與有界性：閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x"∈[a,b]，使f(x")>M。特別地，對於任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。依次取n=1、2、3、……，得到一個數列{xn}⊂[a,b]。顯然，{xn}是有界的，則根據緻密性定理，存在一個收斂子列記及數列極限的保不等式性可知，a≤x0≤b（即x0∈[a,b]）。又由歸結原則和函式在點x0的連續性可知，另一方面，由{xn}的選取方法可知，所以假設不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。同理可證f(x)在[a,b]上必有下界，從而f(x)在[a,b]上有界。
由極限的性質可知，一個函式在某點連續的充要條件是它在該點左右都連續。設函式f（x）在點X0的某個鄰域內有定義，如果有則稱函式在點X0處連續，且稱X0為函式的的連續點。設函式在區間內有定義，如果f（x）在x=b的左極限存在且等於f（b）即那麼就稱函式在點b左連續。設函式在區間內有定義，如果f（x）在x=a處右極限存在且等於f（a）即那麼就稱函式f（x）在點a右連續。一個函式在開區間（a，b）內每點連續，則為在（a，b）連續，若又在a點右連續，b點左連續，則在閉區間連續，如果在整個定義域內連續，則稱為連續函式。擴充套件資料連續性與有界性：閉區間上的連續函式在該區間上一定有界。所謂有界是指，存在一個正數M，使得對於任意x∈[a,b]，都有|f(x)|≤M。證明：利用緻密性定理：有界的數列必有收斂子數列。反證法，假設f(x)在[a,b]上無上界，則對任意正數M，都存在一個x"∈[a,b]，使f(x")>M。特別地，對於任意正整數n，都存在一個xn∈[a,b]，使f(xn)>n。依次取n=1、2、3、……，得到一個數列{xn}⊂[a,b]。顯然，{xn}是有界的，則根據緻密性定理，存在一個收斂子列記及數列極限的保不等式性可知，a≤x0≤b（即x0∈[a,b]）。又由歸結原則和函式在點x0的連續性可知，另一方面，由{xn}的選取方法可知，所以假設不成立，f(x)在[a,b]上必有上界。同理可證f(x)在[a,b]上必有下界，從而f(x)在[a,b]上有界。