是的。

正定矩陣的定義是：

一個矩陣 是正定矩陣，如果它對稱，且對於任何非零的列向量 ，都有：

半正定矩陣的定義相似：

一個對稱矩陣 是半正定矩陣，如果它對稱，且對於任何的列向量 ，都有：

注意：

以上的 既可以是實空間也可以是復空間。在復空間上的正定矩陣，定義中可以省略掉對稱條件，因為有定理：如果復空間上的矩陣滿足： ，那麼它一定是對稱矩陣。正定矩陣也可以等價表示為：對稱矩陣+特徵值嚴格大於0。看到一個答案完全沒有重視“對稱”這個性質，但是對稱這個性質是很好的，它可以保證實空間上的（矩陣對應的）運算元所在的空間一定有一組由特徵向量組成的單位正交基，對於譜分解來說是個好訊息。

設λ1，λ2是兩個A的不同特徵值，α1，α2分別是其對應的特徵向量；

根據特徵值和特徵向量的定義有A * α1 = λ1 * α1，A * α2 = λ2 *α2；

分別取轉置，以及兩邊右乘α2和α1，得α1" * A" * α2 =λ2 * α1" * α2，α2" * A" * α1 =λ1 * α2" * α1 ；

兩式相減並，得到α2" * A" * α1=（α2" * A" * α1)"= α1" * A" * α2 ；

所以 (λ1 - λ2) α1" * α2 = α1" * A" * α2 - α2" * A" * α1 = α1" * A" * α2 - α1" * A" * α2 =0；

又因為λ1 - λ2≠ 0；故 α1" * α2 = 0；所以有α1與α2 正交。

擴充套件資料：

實對稱矩陣的主要性質：

1、實對稱矩陣A的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。

2、實對稱矩陣A的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。

3、n階實對稱矩陣A必可相似對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。

4、若A具有k重特徵值λ0　必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0E-A)=n-k，其中E為單位矩陣。

對稱矩陣的性質：

1、每個實方形矩陣都可寫作兩個實對稱矩陣的積，每個複方形矩陣都可寫作兩個復對稱矩陣的積。

2、若對稱矩陣A的每個元素均為實數，A是Symmetric矩陣。

3、一個矩陣同時為對稱矩陣及斜對稱矩陣當且僅當所有元素都是零的時候成立。

4、如果X是對稱矩陣，那麼對於任意的矩陣A，AXAT也是對稱矩陣。