最近質數題看多了，2這個唯一的偶數質數，很多時候需要關注，這題，顯然p=q=2符合要求。接下來，很大部分內容可能要圍繞“2”展開，畢竟這能引入奇偶性，而奇偶性是數論問題的重要方法。
一、自然數的平方被4除的餘數：
1.如這個自然數是偶數，假設為2k，則（2k）²=4k²，能被4整除。反過來假設n是一個自然數的平方，如果這個平方數是偶數，則一定也是4的倍數，如假設n=m²是偶數，則m也一定是偶數，可以令m=2k，n=（2k）²=4k²。
2.如果這個自然數是奇數，假設為2k+1，則（2k+1）²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1，被8除餘1，但這題只需知道被4除餘1就可以。
鋪墊完了，接下來回到題中。設p^（q+1）+q^（p+1）=N²。
二、當p和q都不為2時，顯然p,q都為奇數，則p+1和q+1都為偶數，設q+1=2k，p^（q+1）=（p^k）²，被4除餘1，同理得到q^（p+1）被4除餘1，則p^（q+1）+q^（p+1）為偶數，且被4除餘2，N必為偶數，N²一定被4整除，與p^（q+1）+q^（p+1）被4除餘2矛盾，所以這種情況不可能成立。
三、當p和q有一個為2時，因為式子對稱，方便論述，不防令p=2，則原式可寫成2^（q+1）+q³=N²，這個等式左邊兩項，一項為指數形式，一項為冪形式，後期指數的增長將遠遠大於冪，隨著q增大，q³相對於2^（q+1）將越來越無足輕重，N將越來越難找，具體如下。因為是偶數，還是設q+1=2k，則（2^k）²+（2k-1）³=N²，（2^k）²也是個完全平方數，N²要比它打大，那N至少為2^k+1，即N²≥（2^k+1）²，（2^k）²+（2k-1）³≥（2^k+1）²，整理得到（2k-1）³≥2^（k+1）+1，關於這個不等式，冪函式後期比指數函式增長的慢，到後期，不等式不可能成立，關於這個問題，從影象就可以看出，用代數方法也行，後面有空的話論證下。總之，這個不等式可以解得k<13，即q<25，這是條件（1）。
另一方面，回到2^（q+1）+q³=N²，2^（q+1）被4整除，N²被4除餘1，得到q³被4除餘1，設q被4除餘a（a=1或3），即q=4k+a則q³=（4k+a）³，二項式展開，前3項都是4的倍數，只需看最後項a³，1³=1，被4除餘1，符合要求，3³=27，被4除餘3，不符合要求，因此q被4除餘1，這個作為條件（2）。
滿足條件（1）和（2）的質數p，與2組成的質數對，一一檢驗。（2，5），（2，13），（2，17）。
2^6+5³=189，13²=169<189<196=14²，不符合
2^14+13³=18581，136²=18496<18581<18769=137²，不符合要求
2^18+17³=267057（其實算，看末尾也行，又一個數論題，就不展開了），完全平方數的末尾不可能為7，也不符合。
綜上所述，（2，2）是唯一滿足要求的質數對。
最近質數題看多了，2這個唯一的偶數質數，很多時候需要關注，這題，顯然p=q=2符合要求。接下來，很大部分內容可能要圍繞“2”展開，畢竟這能引入奇偶性，而奇偶性是數論問題的重要方法。
一、自然數的平方被4除的餘數：
1.如這個自然數是偶數，假設為2k，則（2k）²=4k²，能被4整除。反過來假設n是一個自然數的平方，如果這個平方數是偶數，則一定也是4的倍數，如假設n=m²是偶數，則m也一定是偶數，可以令m=2k，n=（2k）²=4k²。
2.如果這個自然數是奇數，假設為2k+1，則（2k+1）²=4k²+4k+1=4k（k+1）+1，被8除餘1，但這題只需知道被4除餘1就可以。
鋪墊完了，接下來回到題中。設p^（q+1）+q^（p+1）=N²。
二、當p和q都不為2時，顯然p,q都為奇數，則p+1和q+1都為偶數，設q+1=2k，p^（q+1）=（p^k）²，被4除餘1，同理得到q^（p+1）被4除餘1，則p^（q+1）+q^（p+1）為偶數，且被4除餘2，N必為偶數，N²一定被4整除，與p^（q+1）+q^（p+1）被4除餘2矛盾，所以這種情況不可能成立。
三、當p和q有一個為2時，因為式子對稱，方便論述，不防令p=2，則原式可寫成2^（q+1）+q³=N²，這個等式左邊兩項，一項為指數形式，一項為冪形式，後期指數的增長將遠遠大於冪，隨著q增大，q³相對於2^（q+1）將越來越無足輕重，N將越來越難找，具體如下。因為是偶數，還是設q+1=2k，則（2^k）²+（2k-1）³=N²，（2^k）²也是個完全平方數，N²要比它打大，那N至少為2^k+1，即N²≥（2^k+1）²，（2^k）²+（2k-1）³≥（2^k+1）²，整理得到（2k-1）³≥2^（k+1）+1，關於這個不等式，冪函式後期比指數函式增長的慢，到後期，不等式不可能成立，關於這個問題，從影象就可以看出，用代數方法也行，後面有空的話論證下。總之，這個不等式可以解得k<13，即q<25，這是條件（1）。
另一方面，回到2^（q+1）+q³=N²，2^（q+1）被4整除，N²被4除餘1，得到q³被4除餘1，設q被4除餘a（a=1或3），即q=4k+a則q³=（4k+a）³，二項式展開，前3項都是4的倍數，只需看最後項a³，1³=1，被4除餘1，符合要求，3³=27，被4除餘3，不符合要求，因此q被4除餘1，這個作為條件（2）。
滿足條件（1）和（2）的質數p，與2組成的質數對，一一檢驗。（2，5），（2，13），（2，17）。
2^6+5³=189，13²=169<189<196=14²，不符合
2^14+13³=18581，136²=18496<18581<18769=137²，不符合要求
2^18+17³=267057（其實算，看末尾也行，又一個數論題，就不展開了），完全平方數的末尾不可能為7，也不符合。
綜上所述，（2，2）是唯一滿足要求的質數對。