我提供一種比較直觀的解法吧。
假定已知四邊形三條邊a,b,c,其中ab,bc 夾角分別為 , , 則面積S為關於,的函式 。易知面積在
時取得極值。
考慮偏導 對應的幾何意義:固定角 ,面積隨另一個角改變的變化率即為偏導。令 所對對角線為p,p,c夾角記為 。由於a,b,p所組成的三角形不變,我們有:
,其中 為灰色三角形的面積。
易知解為 ,且二階偏導小於零,說明 為區域性最大值。解得幾何意義為:當邊c在圖示圓上轉動時,其切線與p平行的時刻,顯然此時為灰色三角形面積最大值。同理可得: 時面積取得最大值。此時四邊形四點共圓。
然後證明一下面積最大值對於abc的對稱輪換不變,即無論哪條邊在中間,其最大值不受影響。
由共圓及直角關係知第四邊d為圓直徑。此時可得圖中角度關係:
由此得到方程:
化簡後得到關於直徑d的三次方程:
注意到關於a,b,c的對稱輪換 不影響直徑d的值
寫出四邊形的面積
則面積S在對稱輪換下不變,面積最大值不取決於已知三邊的排序。
具體求值需要求解三次方程得到d,目前除了計算機暴力求解\套公式外我還沒有發現很好的求解方法。
還是給一下套公式的結果吧,方程是卡爾達諾方程,判別式小於零,唯一實解為:
我提供一種比較直觀的解法吧。
假定已知四邊形三條邊a,b,c,其中ab,bc 夾角分別為 , , 則面積S為關於,的函式 。易知面積在
時取得極值。
考慮偏導 對應的幾何意義:固定角 ,面積隨另一個角改變的變化率即為偏導。令 所對對角線為p,p,c夾角記為 。由於a,b,p所組成的三角形不變,我們有:
,其中 為灰色三角形的面積。
易知解為 ,且二階偏導小於零,說明 為區域性最大值。解得幾何意義為:當邊c在圖示圓上轉動時,其切線與p平行的時刻,顯然此時為灰色三角形面積最大值。同理可得: 時面積取得最大值。此時四邊形四點共圓。
然後證明一下面積最大值對於abc的對稱輪換不變,即無論哪條邊在中間,其最大值不受影響。
由共圓及直角關係知第四邊d為圓直徑。此時可得圖中角度關係:
由此得到方程:
化簡後得到關於直徑d的三次方程:
注意到關於a,b,c的對稱輪換 不影響直徑d的值
寫出四邊形的面積
則面積S在對稱輪換下不變,面積最大值不取決於已知三邊的排序。
具體求值需要求解三次方程得到d,目前除了計算機暴力求解\套公式外我還沒有發現很好的求解方法。
還是給一下套公式的結果吧,方程是卡爾達諾方程,判別式小於零,唯一實解為: