設f:(a,+∞)→R是一個一元實值函式，a∈R.如果對於任意給定的ε＞0，存在正數X，使得對於適合不等式x＞X的一切x，所對應的函式值f(x)都滿足不等式.

│f(x)-A│<ε ,

則稱數A為函式f(x)當x→+∞時的極限，記作

f(x)→A(x→+∞).

有些函式的極限很難或難以直接運用極限運演算法則求得，需要先判定。下面介紹幾個常用的判定數列極限的定理。

兩邊夾定理：（1）當x∈U(Xo,r)(這是Xo的去心鄰域，有個符號打不出）時，有g（x)≤f(x)≤h(x)成立

（2）g(x)—>Xo=A,h(x)—>Xo=A,那麼，f(x)極限存在，且等於A

不但能證明極限存在，還可以求極限，主要用放縮法。

單調有界準則：單調增加（減少）有上（下)界的數列必定收斂。

在運用它們去求函式的極限時尤需注意以下關鍵之點。一是先要用單調有界定理證明收斂，然後再求極限值。二是應用夾擠定理的關鍵是找到極限值相同的函式 ，並且要滿足極限是趨於同一方向 ，從而證明或求得函式 的極限值。

函式極限的方法

①

利用函式連續性：lim f(x) = f(a) x->a

（就是直接將趨向值帶出函式自變數中，此時要要求分母不能為0）

②恆等變形

當分母等於零時，就不能將趨向值直接代入分母，可以透過下面幾個小方法解決：

第一：因式分解，透過約分使分母不會為零。

第二：若分母出現根號，可以配一個因子是根號去除。

第三：以上我所說的解法都是在趨向值是一個固定值的時候進行的，如果趨向於無窮，分子分母可以同時除以自變數的最高次方。（通常會用到這個定理：無窮大的倒數為無窮小）

當然還會有其他的變形方式，需要透過練習來熟練。