A1.大數定律成立的條件比中心極限定理寬鬆，前者只需要一階矩存在，而後者需要前兩階矩都存在。因為條件更強，中心極限定理的結論也更強，大數定律只是證明幾乎處處收斂，卻沒有指明收斂的速度，而中心極限定理給出了收斂的極限分佈和漸近方差。

A2. 中心極限定理有很多版本，最常見的版本要求（或假設）所有樣本獨立同分布，且他們共同服從的分佈存在前兩階原點矩。即, . 由於可以推出，故在使用的時候只要保證二階矩有限即可。對於並非獨立同分布的情形，有較弱條件下的中心極限定理，亦稱 TheLinderberg-Feller Theorem. 不詳述了。

PS. 誠如題主所言，中心極限定理和強、弱大數定律是機率論的核心，歷史悠久（不晚於1733年）研究者甚眾【至少包括拉普拉斯(Laplace)、棣莫佛(de Movire)、林德伯格(Linderberg)、列維（Levy）、費勒（Feller）、李雅普諾夫（Lyapunov）、切比雪夫（Chebyshev）、馬爾可夫（Markov）、科爾默格洛夫（Kolmogorov）、波若爾（Borel），坎泰利（Cantelli）等巨擘】，各種版本（比如隨機過程的中心極限定理、三角級數的中心極限定理等等）和推廣也不少，很難一兩句話講清，水平有限，草草。