前面很多答案都說了矩陣乘法的本質就是“對向量長度進行拉伸和縮放，以及對向量進行旋轉”，其實這不光是矩陣乘法的本質，也是所有乘法的本質。

正實數乘法：比如" "，看成" "，即把實數軸上的單位向量先拉伸3倍，再拉伸2倍，方向不變；負實數乘法：比如" "，看成是" "，即把實數軸上的單位向量先拉伸3倍，接著將向量旋轉到負半軸，再拉伸2倍(為什麼乘以-1是旋轉，後面再說)；複數乘法: 比如" "，理解成" "，意思就是把實數軸上的單位向量先逆時針旋轉45°，再拉伸 倍，再逆時針旋轉45°，再拉伸 倍，所以最後向量會正好落到虛數軸上，並且長度總共拉伸了12倍;現在回到前面第2點留下的問題“為什麼乘以-1是旋轉”以及“為什麼要定義 "。如果我們是隻能感知一維的人，看到一個正數乘以"-1"後，突然就從正半軸跳到負半軸去了，而不是連續的變化，就會覺得很奇怪；但是站在二維的複平面就好理解了，所以乘以"-1"其實是先在複平面上旋轉了90°到虛數軸，接著再旋轉90°才到達實數負半軸的，這也是為什麼要定義" "的原因；任何一個矩陣乘法，同樣是可以拆成拉伸/縮放和旋轉的兩部分，如果前面答案所說的一樣，這裡不再細說。關於多個數相乘，無論是矩陣還是實數，都可以統一理解成是按順序進行多次拉伸/縮放和旋轉的操作，比如前面第3點所舉的例子。關於我們從小背得滾瓜爛熟的乘法交換律，我的理解是乘法本無交換律，只是在一維碰巧滿足了交換律而已。