也許可以這樣解決:

顯然36°,72°,72°的三角形的底邊與腰長之比為(√5-1)/2(黃金分割數),

所以我們設底邊長為1,則有腰長為(√5-1)/2,

則由海倫-秦九韶公式面積S=p(p-a)(p-b)(p-c)

說明:其中a,b,c為三角形的三條邊長,p=(a+b+c)/2.

p=[2*(√5-1)/2+1]/2=√5/2,a=b=(√5-1)/2,c=1,

S=√{(√5/2)[(√5/2)-(√5-1)/2][(√5/2)-(√5-1)/2][(√5/2)-1]}

=√[√5/2*(1/4)*(√5/2-1)]

=√[(5-2√5)]/4,

又S=ab*sin36°/2,

所以S=[(√5-1)/2]^2*sin36°/2

=(3-√5)*sin36°/4

所以√[(5-2√5)]/4=(3-√5)*sin36°/4,

所以sin36°=√[(5-2√5)]/(3-√5)

=√[(5-2√5)]*(3+√5)/[(3-√5)(3+√5)]

=√{[(5-2√5)]*(3+√5)^2}/4

=√[(5-2√5)*(14+2√5)]/4

=[√(10-2√5)]/4.