畢達哥拉斯的弟子卻發現正方形的邊長與其對角線是不可公度的。即不論劃分多小，都沒有一個c可以均勻地分割正方形的邊長和對角線。這就是第一個被發現的無理數√2。建立在“任何兩個量都是可公度”這一理論基礎上的畢達哥拉斯學派數學大廈迅速崩壞，這一發現動搖了整數至高無上的地位，因為如果並非一切量都可公度，那麼想要表示所有線段長度，光靠整數比就不夠了。他們處死了發現這個數的學生，但這抹殺不掉無理數的存在，越來越多的無理數被發現。由於無理數的算術性質非常神秘，希臘人認為，最好完全迴避採用數字的表達形式，而全神貫注於透過簡明的幾何體來表達量。就這樣，開啟了長達一千年的幾何對算數絕對優勢的希臘數學新篇章。擴充套件資料在公元前 6 世紀，受到畢達哥拉斯的影響，古希臘數學家們都認為，所有物理或幾何的量都是一個整數或是整數的比值，稱為“有理數”。很快，他們意識到自己需要用到一些不同於有理數的數。 比如，我們可以用一個數與其自身相乘，得到它的平方；相反的運算可以得到平方根。但是，沒有任何一個有理數是 2 的平方根；然而，邊長為

1 的正方形的對角線正是這個值，記作 √2。同樣，為了用柵欄圈起一塊

2 平方千米大的正方形場地，你要準確計算場地的周長，計算結果是 4√2 千米，這也是個無理數。一個直角邊為 1 米和 2 米的直角三角形的斜邊長為√5 米，這也是個無理數。( √5-1)/2 的值被用來定義最美的人體比例。傳統上，這是分割一段長度的最完美的比例，其定義方法是：較長部分與全長的比值等於較短部分與較長部分的比值——同樣是個無理數。事實上，所有無理數與某一有理數進行加減乘除運算後得到的仍是無理數。