說明目前我們使用的公理系統是不相容的，因為它可以匯出兩個相反的結論（是有理數，也是無理數）。更進一步，這個公理系統下的每一個命題都同時是對的也是錯的，整個數學體系出現了問題。

所以我們就考察一下什麼數學體系還沒有出問題吧。有皮亞諾公理，我們就可以推出有理數。使用戴德金分割我們獲得了實數。隨後我們就可以構造多項式，取極限得到級數。π是sin x的最小正零點（感謝評論指正）。從而任何包含皮亞諾公理的體系都是不相容的，從而無法被採用。

不過題主不必悲傷，ZFC公理還是可以使用的，至少集合論本身還在。其他的數學，但凡涉及到任何數字的，全部灰飛煙滅。如果是這樣，那我們造的樓沒塌、計算機居然還能正常執行，我感覺是奇蹟。

最後，從邏輯學的角度來看，一個包含皮亞諾公理的體系的相容性是無法在體系內證明的。我們證明了“π是有理數”會導致矛盾，有沒有可能“π是無理數”也會導致矛盾呢？或者說，矛盾是有可能內蘊於算數公理體系的：只要算數公理體系相容，我們就永遠無法知道它是否相容，從而我們不得不永遠擔心著這個系統內蘊矛盾。從這一點來看，題主的問題並非空想——它是上世紀希爾伯特、哥德爾、圖靈等等的著名數學家所憂慮的。畢竟在公理化之前，集合論本身就是不相容的（理髮師悖論）；數學家們對於我們現在正在使用的系統繼續保持憂慮，完全應當。

Ps. 建議標籤去掉“數論”、“π”，新增“邏輯”。因為，這其實是一道邏輯題hh

PPs. 我也來給一個π是無理數的證明：

引理（Lindemann–Weierstrass定理）：若a,b為不同的代數數，則 在Q的代數閉域上線性無關。（引理不證）

證明：由於 和 線性相關，故0和 至少有一個超越，從而 超越。證畢。