只說一元函式。連續：設，。若對於任意，有，使得每個滿足，則我們稱在處連續。若在每個處都連續，則我們稱是連續的。等價的來說，若是的孤點，則在處連續；若是的極限點，且若，則在處連續。在一元函式下，可導和可微是等價的。可導/可微：設，，若存在並有限，則我們稱在處可導。若在每個處都可導，則我們稱可導。連續是可導的必要條件，從導數的極限定義易證。只說黎曼可積。可以自行看勒貝格可積。黎曼可積: 設有界。我們將稱作的一個分割。設和. 稱為函式的上積分，為函式的下積分，若,則稱為黎曼可積，且連續性是可積性的充分條件，但非必要條件。詳見Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis, Ch. 4,5,6

可微=>可導=>連續=>可積,在一元函式中，可導與可微等價。

函式在x0點連續的充要條件為f(x0)=lim(x→x0)f(x)，即函式在此點函式值存在，並且等於此點的極限值

若某函式在某一點導數存在，則稱其在這一點可導，否則稱為不可導。可導的充要條件是此函式在此點必須連續，並且左導數等於右倒數。（我們老師曾經介紹過一個Weierstrass什麼維爾斯特拉斯的推匯出來的函式處處連續卻處處不可導，有興趣可以查一下）

可微在一元函式中與可導等價，在多元函式中，各變數在此點的偏導數存在為其必要條件，其充要條件還要加上在此函式所表示的廣義面中在此點領域內不含有“洞”存在，可含有有限個斷點。

函式可積只有充分條件為：①函式在區間上連續②在區間上不連續，但只存在有限個第一類間斷點（跳躍間斷點，可去間斷點）上述條件實際上為黎曼可積條件，可以放寬，所以只是充分條件

PS:你是不是也準備考研呀，我今天做題目也被這個關係卡住了，嘿嘿，順便查閱了下書本，加油哈！