韓信點兵
漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善囉！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此大才，我很佩服。現在，我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的大才，答起來一定不費吹灰之力的。”韓信滿不在乎地說：“可以可以。”劉邦狡黠地一笑，傳令叫來一小隊士兵隔牆站隊，劉邦發令：“每三人站成一排。”隊站好後，小隊長進來報告：“最後一排只有二人。”“劉邦又傳令：“每五人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有三人。”劉邦再傳令：“每七人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有二人。”劉邦轉臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個岔子把他殺掉，免生後患。”一面則佯裝笑臉誇了幾句，並問：“你是怎樣算的？”韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經中載有此題之演算法，口訣是：
三人同行七十稀，
五樹梅花開一枝，
七子團圓正月半，
除百零五便得知。”
劉邦出的這道題，可用現代語言這樣表述：
“一個正整數，被3除時餘2，被5除時餘3，被7除時餘2，如果這數不超過100，求這個數。”
《孫子算經》中給出這類問題的解法：“三三數之剩二，則置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十；並之得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得。”用現代語言說明這個解法就是：
首先找出能被5與7整除而被3除餘1的數70，被3與7整除而被5除餘1的數21，被3與5整除而被7除餘1的數15。
所求數被3除餘2，則取數70×2＝140，140是被5與7整除而被3除餘2的數。
所求數被5除餘3，則取數21×3＝63，63是被3與7整除而被5除餘3的數。
所求數被7除餘2，則取數15×2=30，30是被3與5整除而被7除餘2的數。
又，140＋63＋30=233，由於63與30都能被3整除，故233與140這兩數被3除的餘數相同，都是餘2，同理233與63這兩數被5除的餘數相同，都是3，233與30被7除的餘數相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數。
而3、5、7的最小公倍數是105，故233加減105的整數倍後被3、5、7除的餘數不會變，從而所得的數都能滿足題目的要求。由於所求僅是一小隊士兵的人數，這意味著人數不超過100，所以用233減去105的2倍得23即是所求。
這個演算法在中國有許多名稱，如“韓信點兵”，“鬼谷算”，“隔牆算”，“剪管術”，“神奇妙算”等等，題目與解法都載於中國古代重要的數學著作《孫子算經》中。一般認為這是三國或晉時的著作，比劉邦生活的年代要晚近五百年，演算法口訣詩則載於明朝程大位的《演算法統宗》，詩中數字隱含的口訣前面已經解釋了。宋朝的數學家秦九韶把這個問題推廣，並把解法稱之為“大衍求一術”，這個解法傳到西方後，被稱為“孫子定理”或“中國剩餘定理”。而韓信，則終於被劉邦的妻子呂后誅殺於未央宮。
請你試一試，用剛才的方法解下面這題：
一個數在200與400之間，它被3除餘2，被7除餘3，被8除餘5，求該數。
（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得該數為269。）
韓信點兵
漢高祖劉邦曾問大將韓信：“你看我能帶多少兵？”韓信斜了劉邦一眼說：“你頂多能帶十萬兵吧！”漢高祖心中有三分不悅，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韓信傲氣十足地說：“我呀，當然是多多益善囉！”劉邦心中又添了三分不高興，勉強說：“將軍如此大才，我很佩服。現在，我有一個小小的問題向將軍請教，憑將軍的大才，答起來一定不費吹灰之力的。”韓信滿不在乎地說：“可以可以。”劉邦狡黠地一笑，傳令叫來一小隊士兵隔牆站隊，劉邦發令：“每三人站成一排。”隊站好後，小隊長進來報告：“最後一排只有二人。”“劉邦又傳令：“每五人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有三人。”劉邦再傳令：“每七人站成一排。”小隊長報告：“最後一排只有二人。”劉邦轉臉問韓信：“敢問將軍，這隊士兵有多少人？”韓信脫口而出：“二十三人。”劉邦大驚，心中的不快已增至十分，心想：“此人本事太大，我得想法找個岔子把他殺掉，免生後患。”一面則佯裝笑臉誇了幾句，並問：“你是怎樣算的？”韓信說：“臣幼得黃石公傳授《孫子算經》，這孫子乃鬼谷子的弟子，算經中載有此題之演算法，口訣是：
三人同行七十稀，
五樹梅花開一枝，
七子團圓正月半，
除百零五便得知。”
劉邦出的這道題，可用現代語言這樣表述：
“一個正整數，被3除時餘2，被5除時餘3，被7除時餘2，如果這數不超過100，求這個數。”
《孫子算經》中給出這類問題的解法：“三三數之剩二，則置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十；並之得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之剩一，則置七十；五五數之剩一，則置二十一；七七數之剩一，則置十五，一百六以上，以一百五減之，即得。”用現代語言說明這個解法就是：
首先找出能被5與7整除而被3除餘1的數70，被3與7整除而被5除餘1的數21，被3與5整除而被7除餘1的數15。
所求數被3除餘2，則取數70×2＝140，140是被5與7整除而被3除餘2的數。
所求數被5除餘3，則取數21×3＝63，63是被3與7整除而被5除餘3的數。
所求數被7除餘2，則取數15×2=30，30是被3與5整除而被7除餘2的數。
又，140＋63＋30=233，由於63與30都能被3整除，故233與140這兩數被3除的餘數相同，都是餘2，同理233與63這兩數被5除的餘數相同，都是3，233與30被7除的餘數相同，都是2。所以233是滿足題目要求的一個數。
而3、5、7的最小公倍數是105，故233加減105的整數倍後被3、5、7除的餘數不會變，從而所得的數都能滿足題目的要求。由於所求僅是一小隊士兵的人數，這意味著人數不超過100，所以用233減去105的2倍得23即是所求。
這個演算法在中國有許多名稱，如“韓信點兵”，“鬼谷算”，“隔牆算”，“剪管術”，“神奇妙算”等等，題目與解法都載於中國古代重要的數學著作《孫子算經》中。一般認為這是三國或晉時的著作，比劉邦生活的年代要晚近五百年，演算法口訣詩則載於明朝程大位的《演算法統宗》，詩中數字隱含的口訣前面已經解釋了。宋朝的數學家秦九韶把這個問題推廣，並把解法稱之為“大衍求一術”，這個解法傳到西方後，被稱為“孫子定理”或“中國剩餘定理”。而韓信，則終於被劉邦的妻子呂后誅殺於未央宮。
請你試一試，用剛才的方法解下面這題：
一個數在200與400之間，它被3除餘2，被7除餘3，被8除餘5，求該數。
（解：112×2＋120×3＋105×5＋168k，取k＝-5得該數為269。）