實變函式和數學分析最本質的區別在於二者的測度論基礎不同，前者建立在勒貝格測度論基礎上，而後者對應於若爾當測度。簡單來說，區別就在於可數可加性與有限可加性，這很大程度體現在黎曼積分論和勒貝格積分論的區別上。
黎曼積分的求和過程是有限分割——近似求和——取極限。這樣的“有限”性就極大地限制了數學分析所能研究的範圍，必須要固定在至多有限個點不連續的函式範圍內，否則將出現[0，1]間有理數不可測這樣的“不和諧”，直觀一點來看，例如黎曼積分不適用狄利克雷函式。這樣數學分析就將大量函式排除在外，完全不能適應數學的發展了。
勒貝格的測度論摒棄了有限可加這樣的限制，提出了具有可數可加性的測度論，並以可測函式代替連續函式，這樣就大大擴充套件了可研究的範圍，將之前不可處理的“病態函式”納入麾下，比如此時有理數集Q∈[0，1]可測，狄利克雷函式也將可測可積。這樣更為完善的函式論直接導致了數學發展的變革，成為了現代數學的基本工具。
黎曼積分透過劃分定義域來求和，而勒貝格積分透過劃分值域來求和 ，這樣就避免了區分定義域中不連續點的麻煩，體現了勒貝格理論巨大的優越性。例如在勒貝格控制收斂定理中，並不需要假設極限函式可積，這對黎曼積分來說是不能實現的。
然而勒貝格積分同樣是有缺陷的，由於劃分的無序性，這就要求勒貝格可積函式必須是黎曼絕對可積函式，那麼這樣就會排除掉一些重要的黎曼可積而不絕對可積的函式，但這樣的函式可積又是有現實意義的，例如
這樣的缺陷說明勒貝格理論也不是完美的，所以後來又發展出很多種積分論，但都不能調和所有的矛盾。
總之，勒貝格理論與黎曼理論是互不包含的體系，只能說在很多情況下，勒貝格理論更適用於我們的需求，不能說哪個絕對更優越。
實變函式和數學分析最本質的區別在於二者的測度論基礎不同，前者建立在勒貝格測度論基礎上，而後者對應於若爾當測度。簡單來說，區別就在於可數可加性與有限可加性，這很大程度體現在黎曼積分論和勒貝格積分論的區別上。
黎曼積分的求和過程是有限分割——近似求和——取極限。這樣的“有限”性就極大地限制了數學分析所能研究的範圍，必須要固定在至多有限個點不連續的函式範圍內，否則將出現[0，1]間有理數不可測這樣的“不和諧”，直觀一點來看，例如黎曼積分不適用狄利克雷函式。這樣數學分析就將大量函式排除在外，完全不能適應數學的發展了。
勒貝格的測度論摒棄了有限可加這樣的限制，提出了具有可數可加性的測度論，並以可測函式代替連續函式，這樣就大大擴充套件了可研究的範圍，將之前不可處理的“病態函式”納入麾下，比如此時有理數集Q∈[0，1]可測，狄利克雷函式也將可測可積。這樣更為完善的函式論直接導致了數學發展的變革，成為了現代數學的基本工具。
黎曼積分透過劃分定義域來求和，而勒貝格積分透過劃分值域來求和 ，這樣就避免了區分定義域中不連續點的麻煩，體現了勒貝格理論巨大的優越性。例如在勒貝格控制收斂定理中，並不需要假設極限函式可積，這對黎曼積分來說是不能實現的。
然而勒貝格積分同樣是有缺陷的，由於劃分的無序性，這就要求勒貝格可積函式必須是黎曼絕對可積函式，那麼這樣就會排除掉一些重要的黎曼可積而不絕對可積的函式，但這樣的函式可積又是有現實意義的，例如
這樣的缺陷說明勒貝格理論也不是完美的，所以後來又發展出很多種積分論，但都不能調和所有的矛盾。
總之，勒貝格理論與黎曼理論是互不包含的體系，只能說在很多情況下，勒貝格理論更適用於我們的需求，不能說哪個絕對更優越。