狹義相對論中的公式推導：
一、洛侖茲座標變換：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
1、設(x,y,z,t)所在座標系（A系）靜止，（X,Y,Z,T）所在座標系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的座標為X=-uT，即X+uT=0。
2、可令x=k(X+uT) (1)。又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數（廣義相對論中，由於時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。）同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K。
3、故有X=k(x-ut) (2)。對於y,z,Y,Z皆與速度無關，可得Y=y (3)。
4、Z=z (4)。將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)。
5、(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時由重合點發出一光訊號，則對兩系分別有x=ct，X=cT。
6、代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。將γ反代入(2)(5)式得座標變換：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
二、速度變換：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)；V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))；V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))。
1、V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)。
2、同理可得V(y),V(z)的表示式。
三、尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ。
B系中有一與x軸平行長l的細杆，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同時測量兩端的座標)，則△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ。
四、鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ。
由座標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地測量)，故△t=γ△T。
五、光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。光源與探測器在一條直線上運動。
1、B系原點處一光源發出光訊號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鍾，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b)，波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b)，由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b) (1)。
2、探測器開始接收時刻為t1+x/c，最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c，則△t(N)=(1+β)△t(a) (2)。
3、相對運動不影響光訊號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3)。
4、由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。
六、動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm。
1、dt=γdτ,此時γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對於動力學質點可選自身為參考系，β=v/c。
2、牛頓第二定律在伽利略變換下保持形勢不變，即無論在哪個慣性系內牛頓第二定律都成立。
3、牛頓力學中，v=dr/dt，r在座標變換下形式不變，只要將分母替換為一個不變數就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。
4、牛頓動量為p=mv，將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm（相對論質量）則p=Mv。
七、相對論力學基本方程：F=dP/dt。
由相對論動量表達式可知：F=dp/dt，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內涵不一樣。
八、質能方程：E=Mc^2。
1、Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=Mc^2-mc^2。
2、即E=Mc^2=Ek+mc^2
九、能量動量關係：E^2=(E0)^2+P^2c^2。
E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2。
狹義相對論中的公式推導：
一、洛侖茲座標變換：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
1、設(x,y,z,t)所在座標系（A系）靜止，（X,Y,Z,T）所在座標系（B系）速度為u，且沿x軸正向。在A系原點處，x=0，B系中A原點的座標為X=-uT，即X+uT=0。
2、可令x=k(X+uT) (1)。又因在慣性系內的各點位置是等價的，因此k是與u有關的常數（廣義相對論中，由於時空彎曲，各點不再等價，因此k不再是常數。）同理，B系中的原點處有X=K(x-ut),由相對性原理知，兩個慣性系等價，除速度反向外，兩式應取相同的形式，即k=K。
3、故有X=k(x-ut) (2)。對於y,z,Y,Z皆與速度無關，可得Y=y (3)。
4、Z=z (4)。將(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT，即T=kt+((1-k^2)/(ku))x (5)。
5、(1)(2)(3)(4)(5)滿足相對性原理，要確定k需用光速不變原理。當兩系的原點重合時由重合點發出一光訊號，則對兩系分別有x=ct，X=cT。
6、代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u)，cT=kt(c-u).兩式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ。將γ反代入(2)(5)式得座標變換：X=γ(x-ut)；Y=y；Z=z；T=γ(t-ux/c^2)。
二、速度變換：V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)；V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))；V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))。
1、V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)。
2、同理可得V(y),V(z)的表示式。
三、尺縮效應：△L=△l/γ或dL=dl/γ。
B系中有一與x軸平行長l的細杆，則由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t)，又△t=0(要同時測量兩端的座標)，則△X=γ△x，即：△l=γ△L,△L=△l/γ。
四、鐘慢效應：△t=γ△τ或dt=dτ/γ。
由座標變換的逆變換可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2)，又△X=0，(要在同地測量)，故△t=γ△T。
五、光的多普勒效應：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。光源與探測器在一條直線上運動。
1、B系原點處一光源發出光訊號，A系原點有一探測器，兩系中分別有兩個鍾，當兩系原點重合時，校準時鐘開始計時。B系中光源頻率為ν(b)，波數為N，B系的鐘測得的時間是△t(b)，由鐘慢效應可知，A△系中的鐘測得的時間為△t(a)=γ△t(b) (1)。
2、探測器開始接收時刻為t1+x/c，最終時刻為t2+(x+v△t(a))/c，則△t(N)=(1+β)△t(a) (2)。
3、相對運動不影響光訊號的波數，故光源發出的波數與探測器接收的波數相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N) (3)。
4、由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)。
六、動量表達式：P=Mv=γmv,即M=γm。
1、dt=γdτ,此時γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因為對於動力學質點可選自身為參考系，β=v/c。
2、牛頓第二定律在伽利略變換下保持形勢不變，即無論在哪個慣性系內牛頓第二定律都成立。
3、牛頓力學中，v=dr/dt，r在座標變換下形式不變，只要將分母替換為一個不變數就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv為相對論速度。
4、牛頓動量為p=mv，將v替換為V，可修正動量，即p=mV=γmv。定義M=γm（相對論質量）則p=Mv。
七、相對論力學基本方程：F=dP/dt。
由相對論動量表達式可知：F=dp/dt，這是力的定義式，雖與牛頓第二定律的形式完全一樣，但內涵不一樣。
八、質能方程：E=Mc^2。
1、Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2=Mc^2-mc^2。
2、即E=Mc^2=Ek+mc^2
九、能量動量關係：E^2=(E0)^2+P^2c^2。
E=Mc^2，p=Mv，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)，E0=mc^2，可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2。