由級數

∞

n＝1

(?1)n?1an收斂知，

lim

n→∞

an＝0，

設

∞

n＝1

(?1)n?1an，

∞

n＝1

a2n，

∞

n＝1

an的前n項和分別為sn，Sn，σn，則

lim

n→∞

sn＝a，

lim

n→∞

Sn＝b，

σ2k=a1+a2+…+a2k=（a1-a2+a3-a4+…+a2k-1-a2k）+2（a2+a4+…+a2k）=s2k+2Sk，

故

lim

k→∞

σ2k＝

lim

k→∞

(s2k+2Sk)＝a+2b，

lim

k→∞

σ2k+1＝

lim

k→∞

(σ2k+a2k+1)＝a+2b，

所以：

lim

n→∞

σn＝a+2b，級數

∞

n＝1

an收斂，和為a+2b．