對於一般係數的一元多次方程如何找到根式解是一個很古老的問題。我們知道二次方程有大家熟知的求根公式，三次方程有卡丹公式，四次方程有費拉里解法。可是對於一般的一元多次方程能否有類似的公式呢？這個問題困擾人們很久，一直到十九世紀才由法國數學家伽羅瓦用群論的方法徹底解決了這個問題：一般係數的一元多次方程當方程的次方大於或者等於五的時候是沒有根式通解的。

值得一提的是伽羅瓦在解決這個問題的時候他才十八歲。可惜的是這個傑出的數學家因為思想激進和別人決鬥後不幸身亡，年僅二十歲。他在他短暫的生命裡面，創立的群論和伽羅瓦理論，成為抽象代數的一個主要分支。他和阿貝爾並稱為現代群論的創始人。

到目前為止,並沒有找到所有多次方程的通解.到了一元五次方程就難以找到了,原因可能是目前數學的範疇內無法得到很好的解答,也可能是其他知識的發展限制了五次方程的解法.我們看一元一次方程的解、一元二次方程的通解,一般我們非常熟悉:

一般一個重大問題的解決需要很多知識為前提作為輔助,同時問題的解決又促進各個數學分支的發展,甚至獨立成新的分支,在其他學科更是有巨大的促進作用.

例如,一元三次方程的通解方法並不是解決完一元二次就立刻就解決了,而是數域擴充為複數範圍時才得以解決.我們繼續看一元三次方程的解法,它是由義大利學者卡爾丹於1545年發表在其<關於代數的大法>中,後人稱其為"卡丹公式",但真正的發現者是塔塔利亞.

關於一元三次方程還發生了令人震驚的事情,卡爾丹請求塔塔利亞將通解告訴自己,但塔塔利亞起初並沒有答應,等到他發誓不告訴別人這個秘密才得知.而卡爾丹並沒有守信,而是將改進後的解法在其著作<關於代數的大法>中,後來兩人相互寫信罵對方,最終塔塔利亞被卡爾丹派人殺害.這樣的狗血劇情竟然發生在數學界,確實夠無語的.

我看再看四次方程的解法,這是由卡爾丹的學生費拉里找到的,不過它的種類太多,一般不納入中學學習的範疇.

答：一般形式的一元多次方程，只有一、二、三、四次方程有通解，高於五次（包括五次）的方程沒有通用的根式解。

這是數學中的一個定理，伽羅瓦發明群論後，他首先闡述了根式解存在的條件；然後由阿貝爾最早得到證明；可惜伽羅瓦和阿貝爾都英年早逝，成為數學界的一大遺憾。

一般形式為ax^2+bx+c=0；

方程的通解為：

一般形式為ax^3+bx^2+cx+d=0

一元三次方程一般形式的通解相當複雜，我們一般先化為缺項的三次方程:

x^3+px+q=0；

然後利用卡爾丹公式：

因為三次方程必定“至少有一解”，以上的卡爾丹公式給出的就是該解，得到一個解後，就可以降為一元二次方程。

如果你覺得複雜，三次方程的解，還能用三角函式表示為：

一元三次方程的解已經夠複雜了，四次方程的通解不再具有實用性，我也可以給出一個通解給你看看。

對於一元多次方程的一般形式，高於五次（包括五次）的方程，將沒有通用的根式解。

需要注意的是，沒有根式解，並不是說沒有解；代數基本定理表明，對於任意一元N次方程來說，在複數領域內，一定有N個解（包含復根）。