變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它分辨不出找到的是最大值還是最小值（或者兩者都不是）。
變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，黎曼在調和函式中使用狄力克雷原理。最優控制的理論是變分法的一個推廣。
同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，摩爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為Plateau問題。 尤拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 簡稱E-L方程，在力學中則往往稱為拉格朗日方程。正如上面所說，變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。
值得指出的是，E-L方程只是泛函有極值的必要條件，並不是充分條件。就是說，當泛函有極值時，E-L方程成立。在應用中，外界給定的條件可以使得E-L方程在大多數情況下滿足我們的需求。所以儘管下面我們要在比較強的條件下推導，並且這種推導在某些意義上有些不太嚴謹，完全可以在較弱的情況下予以完全嚴謹的證明，但是就我們所要用的層面而言，也是足夠的了。 對於泛函
固定兩個端點，在泛函S取到極值時的函式記作g(x)，定義與這個函式“靠近”的一個函式，h(x)=g(x)+δg(x)，其中δg(x)在從x1到x2上都是小量，同時也滿足，
這裡δg(x)稱為函式g(x)的變分。
因為在從任何函式代替g(x)都會使得泛函S取不到極值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量產生了增量，為，
將第一項 按照δg(x)和δg"(x)冪級數開啟，並且注意到δg(x)和δg"(x)永遠是小量，捨棄掉二次項及以上高次項，可得關於δg(x)和δg"(x)一次項的和。則S取到極值的必要條件就是這些項的和的值為0.這些和稱之為S的一階變分（或者簡稱變分），變分為0記作，
按照冪級數開啟後，可以得到，
將第二項分部積分得：
由於 ，於是第一項等於0，換而言之，就是這個等式成立，
於是對任何小的函式δg(x)該積分都等於0，於是只有被積函式等於0的時候才有可能。（這個論斷是不嚴謹的，這裡應該由Du Bois Reymond 引理給出）於是我們得到方程，
這就是E-L方程。
在力學上，這裡的g用任何一個廣義座標q表示，x用t代替，而L(拉格朗日量)=T(動能)-V(勢能)，那麼拉格朗日方程則為，
變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。在尋找函式的極大和極小值時，在一個解附近的微小變化的分析給出一階的一個近似。它分辨不出找到的是最大值還是最小值（或者兩者都不是）。
變分法在理論物理中非常重要：在拉格朗日力學中，以及在最小作用量原理在量子力學的應用中。變分法提供了有限元方法的數學基礎，它是求解邊界值問題的強力工具。它們也在材料學中研究材料平衡中大量使用。而在純數學中的例子有，黎曼在調和函式中使用狄力克雷原理。最優控制的理論是變分法的一個推廣。
同樣的材料可以出現在不同的標題中，例如希爾伯特空間技術，摩爾斯理論，或者辛幾何。變分一詞用於所有極值泛函問題。微分幾何中的測地線的研究是很顯然的變分性質的領域。極小曲面（肥皂泡）上也有很多研究工作，稱為Plateau問題。 尤拉-拉格朗日方程 (Euler-Lagrange equation) 簡稱E-L方程，在力學中則往往稱為拉格朗日方程。正如上面所說，變分法的關鍵定理是尤拉－拉格朗日方程。它對應於泛函的臨界點。
值得指出的是，E-L方程只是泛函有極值的必要條件，並不是充分條件。就是說，當泛函有極值時，E-L方程成立。在應用中，外界給定的條件可以使得E-L方程在大多數情況下滿足我們的需求。所以儘管下面我們要在比較強的條件下推導，並且這種推導在某些意義上有些不太嚴謹，完全可以在較弱的情況下予以完全嚴謹的證明，但是就我們所要用的層面而言，也是足夠的了。 對於泛函
固定兩個端點，在泛函S取到極值時的函式記作g(x)，定義與這個函式“靠近”的一個函式，h(x)=g(x)+δg(x)，其中δg(x)在從x1到x2上都是小量，同時也滿足，
這裡δg(x)稱為函式g(x)的變分。
因為在從任何函式代替g(x)都會使得泛函S取不到極值，所以用h(x)代替g(x)使得作用量產生了增量，為，
將第一項 按照δg(x)和δg"(x)冪級數開啟，並且注意到δg(x)和δg"(x)永遠是小量，捨棄掉二次項及以上高次項，可得關於δg(x)和δg"(x)一次項的和。則S取到極值的必要條件就是這些項的和的值為0.這些和稱之為S的一階變分（或者簡稱變分），變分為0記作，
按照冪級數開啟後，可以得到，
將第二項分部積分得：
由於 ，於是第一項等於0，換而言之，就是這個等式成立，
於是對任何小的函式δg(x)該積分都等於0，於是只有被積函式等於0的時候才有可能。（這個論斷是不嚴謹的，這裡應該由Du Bois Reymond 引理給出）於是我們得到方程，
這就是E-L方程。
在力學上，這裡的g用任何一個廣義座標q表示，x用t代替，而L(拉格朗日量)=T(動能)-V(勢能)，那麼拉格朗日方程則為，