1、存在無理數的無理數次方是有理數嗎？

　　廢話，肯定存在。例如，我們來考慮

　　很明顯很明顯

　　等於2是有理數了；

　　但是對於更一般的情況下判斷任意給一個無理數的無理數次方是有理數還是非常難的，目前沒有更有效的方法。

　　2、圓周率

　　圓周率本身是無理數，而且更神奇的是你的生日、銀行卡號、學號、身份證號等可能就包含在圓周率中的某一段中；

　　但是這還不是更神奇的事情。更神奇的地方是和機率論有著非常密切的關係。最典型的一個例子應該是18世紀法國數學家蒲豐的投針實驗，這個實驗是這樣的：假設在平坦的地面上畫著間距為單位1的平行線，把一根長度為單位1的針隨機扔在地上，問這根針與地面的平行線相交的機率為多少。答案非常出乎意料的是

　　，這個用到微積分的知識。

　　但是這還不是更神奇的事情。更神奇的是，

　　，這個級數的每一項都是有理分式，無數個有理數求和卻不是有理數而是無理數，並且這個無理數還和有關，它居然等於！當然這個公式對於下面這些公式來說還是弱爆了。

　　韋達給出了一個超漂亮的式子：

　　沃利斯也不甘示弱：

　　更有史上最天才的拉馬努金給出的（這個等式規律性非常強有木有）：

　　等等等等有幾噸這種美感與智慧並存的結論！！！

　　這還不是更神奇的事情，更神奇的地方等待著面前的你去發掘！

　　3、存在一個不等式，它的解在平面上的分佈圖形長的和該不等式一模一樣！！

　　這個我是在顧森的部落格上看到的：2001年，在介紹一種全新的方程圖象繪製演算法時，塔珀（Jeff Tupper）構造了這樣一個有趣的不等式：

　　對於某個n，圖象在0<=x<=106，n<=y<=n+17的範圍內它的解的分佈圖形是：

　　有木有長的一模一樣！！有木有長的一模一樣！！

　　4、在有些空間中，收斂序列可能不止收斂於一個點！

　　在潛意識裡，任給一個收斂序列，它的收斂點只有一個，比如給一個序列它的通項為

　　,它只收斂於自然底數e。然而在我們的宇宙中，收斂並不是這麼簡單，以上序列之所以只收斂於一個點是因為它是限制在實數空間中，除了實數空間，宇宙還包含了各種聞所未聞見所未見的空間。在拓撲學中對於收斂的定義是這樣：對於數列{Xn}來說，當n足夠大時，x的每一個領域都包含著Xn，那麼x就是Xn的收斂點。所以舉一個簡單的例子，平庸空間中的任何序列都收斂，更奇葩的是還收斂於這個空間中的任何一個點，由此還可以推出任何序列都收斂自身中的任何一個點，多麼不可思議！

　　5、給一個簡單的猜想

　　這裡有一個很有趣的一個問題：從任給一個正整數開始，如果這個數是偶數，把它除以2；如果是奇數，則乘以3再加1，依次下去進行有限步，最後一定等於1。

　　這個操作起來蠻簡單，但是至今無人能證明，透露一下它的難度和“1+1”是一樣的！關於這個猜想有一個很逗的事情，它的廣為人知離不開日本的一位數學家角谷，所以該猜想也稱角谷猜想（儘管這不是角谷提出來的，所以這個猜想有很多名字科拉茲猜想、敘拉古猜想、哈斯演算法、烏拉姆問題and so on。。。。。說白了，你要是對傳播這個猜想有比較大的貢獻也可以以你的名字命名，最後名字太多了，國際統一將它稱為3x+1問題了，所以錯過了一次以自己名字命名問題的機會哈哈哈哈哈哈），當時角谷拿到這個問題後，前鼓後搗地搞出了一些名堂，然後就帶著自己的這些成果奔到美國常春藤作報告。然後常春藤的師生聽到這麼簡單的問題居然還沒人能解決，於是信心滿滿的都去搞這個去了，然而幾個月過去他們師生還在沉迷這個問題，其它研究也不做，美國開始胡思亂想認為這個問題是拖慢國家數學程序的毒瘤於是禁止研究它了，於是這股熱流在美國漸漸消減，現在關注的人也不多了。