人類借數學探索科學，有了粗淺的發現，滿足了好奇心，穩固了星球霸主地位，除了數學沒有更佳的工具讓人類聊以自慰。

這是個非常非常好的問題，可以從以下幾方面來進行回答：

1、歷史上，人類是如何將數學確立為科學研究的工具？

這是一個漫長的歷史過程，但在其中做出決定性貢獻的是公元前600年左右的古希臘人。在古希臘之前的古巴比倫與古埃及時期，生活在兩河流域與尼羅河流域的人們已經具有了土地量、預測洪水等簡單且粗糙的數學思維，但是他們始終沒有將這種思維抽象化，理論化。一直到古希臘人，開始用一種理性自然的方式思考宇宙。畢達哥拉斯學派首先將世界的本質歸結為“數”，然後經柏拉圖學派的發展，一直到公元300年左右歐幾里得《幾何原本》的誕生，算是正式確立了這樣一門以抽象為本質，以公理化為方法，以邏輯演繹為手段的研究工具。

英國哲學家羅素在其名著《西方哲學史》的開篇曾寫道：“在全部的歷史裡，最使人感到驚異或難於解說的莫過於希臘文明的突然興起了。構成文明的大部分東西已經在埃及和美索不達米亞存在了好幾千年，又從那裡傳播到了四鄰的國家。但是其中卻始終缺少著某些因素，直等到希臘人才把它們提一供出來。希臘人在文學藝術上的成就是大家熟知的，但是他們在純粹知識的領域上所做出的貢獻還要更加不平凡。他們首創了數學、科學和哲學。”

從此，西方文明走上了一條與傳統東方儒家文明完全不同的發展道路，他們將“理性”作為最基本的自然觀，自覺地運用數學工具來研究科學問題，而這種運用從16世紀開始達到高峰。在哲學界，以笛卡爾，斯賓諾莎，萊布尼茲等人為代表的唯理主義，認為數學是人們認識自然、認識宇宙的唯一工具。在科學界，伽利略，牛頓，拉格朗日等一大批科學巨匠的產生，對數學工具的使用已臻於化境，極大地拓展了人類認識的邊界。這使得西方科學迅猛發展，以後來居上之勢超過東方文明，也為後來西方的殖民擴張打下了基礎。

到了20世紀，數學更是走出了自然科學的範疇，開始向其他領域進軍。在哲學領域，弗雷格，羅素，懷特海等人，嘗試以數學分析的方法來研究哲學問題，進而創立了當今英美的主流哲學學派——分析哲學學派。在經濟學領域，哈羅德-多馬，索洛，拉姆齊等經濟模型的提出，開創了經濟學定量分析的時代。從此其他社會科學，如管理學，教育學等等緊隨其後，數學對人類的科學呈全面接管之勢。

2、科學研究為何如此依賴數學？

無歧義性是說，數學有著一套具有明確含義，且大家共同遵守的規範的符號語言系統，因此對於同一個數學公式，所有人的理解都是一樣的，沒有任何歧義，這就是數學如此優越的根本原因所在。《聖經》上記載了巴別塔的故事：人類聯合起來準備修建一座通往天上的高塔，上帝為了阻止人類的計劃，創造了不同的語言，說不同語言的人彼此無法溝通，因此人類無法聯合，計劃失敗。其實這正是人類科學研究的生動寫照，在數學語言出現之前，由於人類語言固有的模糊性與歧義性，即使同一句話，不同人也有不同的理解，也有不同的角度。因此學派林立，彼此之間吵來吵去，喋喋不休，科學理論在這種內耗之中發展得極其緩慢。但是數學語言的產生則有效地避免了這個問題，同一個數學表達人們能理解成相同的意義，因此不同的人們之間可以彼此理解，聯合起來共同探討，科學的發展就一日千里。這也是數學作為一種工具，遠遠優越於其他工具的根本原因所在。

而數學的有效性則是說，正是因為數學工具的使用，使得人類科學與技術迅猛發展，取得了一些有實用性的效能。以數學為支撐的現代科技，把神舟飛船送上了太空，把人類宇航員送上了月球，讓全國十幾億人只用一部手機就可以搞定購物、出行等一系列問題。 正是因為掌握了數學，在近代，西方才能造出堅船利炮，用武力叩開中國的大門。而受了千年傳統文化薰陶的中國，沒有發展出這種理性思想，無法取得自然科學上的進步，於是在西方文明面前不堪一擊。 因此人類對數學才如此重視，而其他學科，即使理論再精妙，如不能產生實際的效能，人們也不會去投以太多關注的目光。

3、人類科學如此依賴數學有什麼負面後果？

正是由於數學這種無與倫比的優越性，使得人們越來越依賴數學，物理化學等科目自不必說，現在連經濟學等社會科學也唯數學的馬首是瞻。在經濟學和管理學學術期刊中，如果你的論文裡邊沒有出現任何數學符號或數學公式，那麼是很難被髮表的，有時為了清楚的闡明一個理論模型，就要連篇累牘地動用大量數學符號，這大大增加了閱讀與理解的難度。2015年，內生經濟增長理論的創始人，美國經濟學家保羅·羅默發表了一篇文章《經濟增長理論中的數學濫用》引起了廣泛關注，他在文章中批評了經濟學界存在多年的濫用數學的現象，他認為，數學在經濟學中的濫用不但無法幫助解決現實問題，反而使問題變得更加晦澀難懂。

當然，這還不是最嚴重的後果。最嚴重的後果是，人類現在所有的科學都是唯一地建立在數學工具之上，而萬一數學工具本身就是錯的，那麼將意味著人類科學的終極災難。人類幾千年建立起來的科學大廈將徹底崩塌，即使還有殘留的斷壁殘垣，也只能勉強支撐人類文明維持現有的階段，而不可能向更高階的文明邁進。因此，人類要永遠保持對數學工具使用的警惕性，一方面要不斷探討這種工具是否是正確的，另一方面也要避免過度的依賴它。

4、數學工具是否存在是錯的可能？

答案是存在的。這體現在兩方面：

第一，數學工具本身就有可能是錯的。數學的本質是對已有的自然概念與科學概念進行抽象與公理化，進而利用三段論進行演繹推理。但是，誰說抽象與公理化就是正確的方法呢？誰說三段論就是正確的推理手段呢？19世紀集合論的創立，使人們覺得數學的基礎已經固若金湯，但是隨後“羅素悖論”的提出，給了集合論致命一擊，動搖了數學基礎，進而引發了第三次數學危機，人類開始重新審視數學的正確性。第三次數學危機最直接的成果就是哥德爾不完備性定理，它大意是表明人類將永遠無法利用數學本身來檢驗數學的正確性，就意味著我們現在對數學這種正確性的信仰，確實是沒有任何基礎的，也就存在數學本身是錯誤的可能，也就存在人類的科學一朝崩塌的可能。

第二，人類對數學工具的使用有可能是錯的。因為認識自然並不是只有數學工具這一個而已。數學是利用理性的方法來認識自然，但同時還有其他方法和其他工具可以使用。例如中國的東方哲學，就是一種整體論的自然觀，同時宗教則試圖透過天啟來獲知對自然和宇宙的終極認識。如果我們宇宙的本質真的是整體的或天啟的，那不就意味著如果我們只利用數學工具這一個工具，將無法認識宇宙的真面目。

因此過度的依賴數學是存在風險的，我們需要不斷的發展與豐富理論來避免這種風險。

科學離不開定量分析或數學分析。定性分析粗糙而未必可靠，定量分析才是可靠可操作的。

只有定量分析的科學，才能為人類謀求最大福祉。科學只能以數學為定量工具，別無選擇。

工具，顧名思義，是工作所藉助的器具。古人云，工欲善其事，必先利其器。“器”，是器物，或工具。荀子說，“君子性借於物”。

英文工具：instrument，其中，instru代表單詞instruct(指導/指示)，ment[字尾](事物)。工具是指示性的儀器、嚮導或方法。亞里士多德有著名的《工具論》(On Instrument)。

就字面上看，中文的工具，似乎不包括抽象工具，英文的工具既有具體工具也有抽象工具。

工具的分類

按感知特徵分：具體工具與抽象工具。

具體工具，如材料、物件、儀器、裝置、設施、玩具、試劑。

抽象工具，如原理、規律、規則、方式、方法、方程、符號。

按適用範圍有：特殊工具與通用工具。

特殊工具，只適合特殊領域。如射電望遠鏡、航空母艦、水力噴射器、萬有引力定律、化學方程式、藥物分子式、法律法規、國家機器、政府機構、安全操作規程、遊戲規則。

通用工具，也叫思維工具，適用於各領域各行各業。如哲學方法、邏輯法則、數學方法、物理學原理、系統方法論、管理學原理。

數學方法論，不是上帝賦予的，而是基於人類數千年生產實踐、科學實驗與廣義哲學(如邏輯·物理·美學)的若干經驗法則的抽象表達。

近似，approximating，是數學的精髓，即忽略次要差異，只取共性特徵，只要滿足任務精度就行，但不是越精確越好。

例如，測量海岸線，測量精度為1000米。不能精確到百米、十米、米、分米、微米、奈米、皮米、費米...，越精確反而越荒唐！

按上圖，假設有一個彎彎曲曲的海灣，取其中的一個平均(抽象)的半圓灣，規定直徑d=1000米，作為測量精度單位。

儘管實際長度是L=½×dπ=1570米。問題是：為什麼通常要以“千米”為測量精度單位？

筆者認為，這是基於“人擇原理”，視覺的清晰距離，或能見度，大約就是1000米。

如果縮小10¹倍，即以“百米”為精度單位，實際距離就有10¹L=1570×10¹=15,700米。

如果縮小10²倍，即以“十米”為精度單位，實際距離就有10²L=1570×10²=157,000米。

如果縮小10¹²倍，即以“奈米”為精度單位，實際距離就有10⁹L=1570×10⁹=1.57萬億米。

再如，加工汽車發動機的活塞，只要密封度或光潔度滿足不漏氣即可。精度單位0.01毫米即可。過高的精度，製造成本將數倍增加，活塞阻力數倍增加，乃至無法作業。

注意，雖然氣體分子尺度大約1奈米(nm)，這並不意味著非得把活塞間隙加工到1nm不可。

所以，數學方法論，不能只停留在純數學教條上，而要與生產實踐相結合。

拓撲，topology，是數學思維的另一個“殺手鐧”，意思是，任意改變介質形態，但不改變內部結構。

例如，一滴水是實心無孔的球形F，可以任意變形為Fⁿ，但就是不能有空洞，則有：F=Fⁿ。這在哲學上叫“萬變不離其宗”。

例如，研究場介質的量子化問題。筆者認為，空間充滿了無空隙的“場量子”或“光子”。

如果，光子是球型，那麼光子之間就有25%的空隙，就無法解釋這個空隙是什麼。

因此，光子是一個有厚度正弦波的“波節”，波節可充滿整個原子空間，這可能性很大。

但是，這並不影響我們把“波節”拓撲為“光球”，進而有光子的半徑、體積。

迭代，iteration，是重複反饋以逼近目標。每次迭代作為下次迭代初始值。 計算機程式需反覆執行子程式的迴圈，直到滿足某條件為止。

迭代是一種“逼近”。可以做廣義的逼近操作，也叫“積聚或投影”。基於某個參照系：

足夠遠的巨星與足夠小的粒子，即使它們的實際形態很不規則，也可逼近為質點，忽略內部參量，只考慮點動參量，簡化了動力學方程。

立體投影為平面或質點；平面投影為直線；直線投影為質點(≠Ø)。輪胎邊界投影為同心圓；

積聚條件下的密度是等價的。體密度積聚為面密度；面密度積聚為線密度。

引力方程可改為線密度型：F=G(M/R)(m/R)，或改為面密度型：F=4πGMm/(4πR²)。

庫侖定律可改為線密度型：F=k(q₁/R)(q₂/R)，或改為面密度型：F=4πkq₁q₂/(4πR²)。

鍵碟符號投影為位元組，位元組投影為PN接面單導組合，單導組合投影為顯示器上的三基色組合。

上述“近似、拓撲、迭代、投影”等處理方式都是純數學操作，是彌足珍貴的發明創造，而不屬於科學發現的範疇。

就工具而言，數學源於哲學與科學，但又高於哲學與科學。就測量而言，數學是科學研究與技術開發的不可替代的工具。

必須指出，數學原理本身並不代表、並不提示、並不決定物質世界的運動規律。把數學原理強加為自然規律就會陷入數學唯心主義。

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