平均數的定義
對於實數序列：
定義：
算術平均數（arithmetic mean）：
幾何平均數（geometric mean）：
另外，還可以定義：
調和平均數（harmonic mean）：
平方平均數（quadratic mean）：
更一般地，可定義 p 次均值函式 （p 取值於廣義實數集 R ∪ {-∞, +∞}）：
並且，令：
顯然，有：
可以證明（證明略）， M_n(p) 是一個單調遞增函式，即，對於 任意 有：
於是，自然有：
當 n = 2 並且 a₁, a₂ ≥ 0 時，四個平均數有下圖的關係：
其中，AB = a₁， BC = a₂, O 是圓心 AC 是直徑。
首先，A₂ = (a₁ + a₂) / 2 = AC / 2 就是圓的 半徑，而 O 是圓心，E 是圓上一點，故 線段 OE 是 圓的半徑，於是 OE = A₂；
其次，因為 Δ ADC、Δ ABD、Δ DBC 都是 直角三角形，根據勾股定理，有：
(a₁ + a₂)² = AD² + DC²
DB² + a₁² = AD²
DB² + a₂² = DC²
將後兩個等式帶入前一個等式得到：
(a₁ + a₂)² = 2DB² + a₁² + a₂²
2DB² = 2a₁a₂
DB = √[a₁a₂]
於是得到 DB = G₂；
其三，OB = OC - BC = (a₁ + a₂) / 2 - a₂ = (a₁ - a₂) / 2，而 ΔEOB 是直角三角形，根據勾股定理，有：
EB² = OE² + OB² = ((a₁ + a₂) / 2)² + ((a₁ - a₂) / 2)² = (a₁² + a₂²) / 2
於是有 EB = √[ (a₁² + a₂²) / 2] = Q₂；
最後，因為 ΔOFB 和 ΔDFB 是直角三角形，根據勾股定理，有：
OF² + FB² = OB²
DF² + FB² = DB²
兩等式相減得到：
OF² - DF² = OB² - DB²
而 圓的半徑 OD = OF + DF，於是 OF = OD - DF，將其代入上式，得到：
(OD - DF)² - DF² = OB² - DB²
OD² - 2OD·DF = OB² - DB²
DF = (OD² - OB² + DB²) / (2OD) = [((a₁ + a₂) / 2)² - ((a₁ - a₂) / 2)² + a₁a₂] / (a₁ + a₂) = (2a₁a₂) / (a₁ + a₂) = 2/(1/a₁ + 1/a₂)
於是得到 DF = H₂。
（上面的證明 很隨意！印象中，初中的平面幾何中有更好的公式，可以讓證明的更優雅和簡潔。）
這四個幾何關係中的 A₂、G₂、H₂ 最早由古希臘的畢達哥拉斯學派發現，因此 它們合稱 畢達哥拉斯平均數。
首先，算術平均數 適合於 線性數列（或 對稱分佈的數列），比如，等差數列：
有：
對於具體的等差數列：1, 3, 5, 7來說，有：A₄ = 1 + (4-1)/2×2 = 4
對於數列的下標：1, 2, 3, 4也是等差數列，於是有：
A₄ = 1 + （4-1)/2×1 = 2.5
以下標為X軸，以數列為Y軸，可繪製下圖：
我們會發現，算術平均數落在 數列的 迴歸線上。
給定 一組實數，將其從小到大排列：
當有奇數個數，取中間那個數；
當有偶數個數，取中間兩個數的算術平均值；
稱這個數為 中位數（median）。
對於 1, 3, 5, 7，中位數就是 (3+5) / 2 = 4，對於 1, 2, 3, 4，中位數就是 (2+3) / 2 = 2.5，顯然 對於等比數列，算術平均數 就是中位數。
然後，幾何平均數 適合 比例關係的 數列，比如，等比數列：
對於具體的等比數列：2, 4, 8, 16來說，有：G₄ = 2√[2⁴⁻¹] = 4√2
當然，也可以求得，算術平均數：
A₄ = (2 + 4 + 8 + 16)/4 = 7.5
m₄ = (4+8)/2 = 6
可繪製下圖：
可以看出，幾何平均數 G₄ 剛出落在 迴歸線上，中位數 m₄ 落在 4 和 8 點的連線中點上，和 幾何平均數 G₄ 比較接近，而 算術平均數 A₄ 就誤差很大了。
最後，調和平均數 適用於 具有反比性質的 數列，比如，速度序列：
將 一整段路程 n 等分，測量得到汽車每段的速度平均速度分別為：
求整段路的總平均速度。
不妨設 每段路程的 距離 為 r, 於是 每段路程所花費的時間為：
進而所求的總平均速度為：
而速度序列的調和平均數為：
於是 速度序列的調和平均數 就是 總平均速度。
另外，算術平均數 還是 非常 重要的統計量，其對應，隨機變數 X 的數學期望（均值）：
因此，它在數理統計中被廣泛使用。
以上的平均數都是預設 數列中的所有元素同等重要。當需要體現元素的不同重要程度時就需要進行加權。加權一般用於算術平均數，加權（算術）平均數定義如下：
加權也可以用於幾何平均數，定義如下：
（以上只簡要的介紹了通用的平均數，而在不同領域，因為不同需求，還有各種特殊的平均數，例如：金融領域的 指數平均數。）
平均數的定義
對於實數序列：
定義：
算術平均數（arithmetic mean）：
幾何平均數（geometric mean）：
另外，還可以定義：
調和平均數（harmonic mean）：
平方平均數（quadratic mean）：
更一般地，可定義 p 次均值函式 （p 取值於廣義實數集 R ∪ {-∞, +∞}）：
並且，令：
顯然，有：
可以證明（證明略）， M_n(p) 是一個單調遞增函式，即，對於 任意 有：
於是，自然有：
平均數的幾何意義當 n = 2 並且 a₁, a₂ ≥ 0 時，四個平均數有下圖的關係：
其中，AB = a₁， BC = a₂, O 是圓心 AC 是直徑。
首先，A₂ = (a₁ + a₂) / 2 = AC / 2 就是圓的 半徑，而 O 是圓心，E 是圓上一點，故 線段 OE 是 圓的半徑，於是 OE = A₂；
其次，因為 Δ ADC、Δ ABD、Δ DBC 都是 直角三角形，根據勾股定理，有：
(a₁ + a₂)² = AD² + DC²
DB² + a₁² = AD²
DB² + a₂² = DC²
將後兩個等式帶入前一個等式得到：
(a₁ + a₂)² = 2DB² + a₁² + a₂²
2DB² = 2a₁a₂
DB = √[a₁a₂]
於是得到 DB = G₂；
其三，OB = OC - BC = (a₁ + a₂) / 2 - a₂ = (a₁ - a₂) / 2，而 ΔEOB 是直角三角形，根據勾股定理，有：
EB² = OE² + OB² = ((a₁ + a₂) / 2)² + ((a₁ - a₂) / 2)² = (a₁² + a₂²) / 2
於是有 EB = √[ (a₁² + a₂²) / 2] = Q₂；
最後，因為 ΔOFB 和 ΔDFB 是直角三角形，根據勾股定理，有：
OF² + FB² = OB²
DF² + FB² = DB²
兩等式相減得到：
OF² - DF² = OB² - DB²
而 圓的半徑 OD = OF + DF，於是 OF = OD - DF，將其代入上式，得到：
(OD - DF)² - DF² = OB² - DB²
OD² - 2OD·DF = OB² - DB²
DF = (OD² - OB² + DB²) / (2OD) = [((a₁ + a₂) / 2)² - ((a₁ - a₂) / 2)² + a₁a₂] / (a₁ + a₂) = (2a₁a₂) / (a₁ + a₂) = 2/(1/a₁ + 1/a₂)
於是得到 DF = H₂。
（上面的證明 很隨意！印象中，初中的平面幾何中有更好的公式，可以讓證明的更優雅和簡潔。）
這四個幾何關係中的 A₂、G₂、H₂ 最早由古希臘的畢達哥拉斯學派發現，因此 它們合稱 畢達哥拉斯平均數。
平均數的使用首先，算術平均數 適合於 線性數列（或 對稱分佈的數列），比如，等差數列：
有：
對於具體的等差數列：1, 3, 5, 7來說，有：A₄ = 1 + (4-1)/2×2 = 4
對於數列的下標：1, 2, 3, 4也是等差數列，於是有：
A₄ = 1 + （4-1)/2×1 = 2.5
以下標為X軸，以數列為Y軸，可繪製下圖：
我們會發現，算術平均數落在 數列的 迴歸線上。
給定 一組實數，將其從小到大排列：
當有奇數個數，取中間那個數；
當有偶數個數，取中間兩個數的算術平均值；
稱這個數為 中位數（median）。
對於 1, 3, 5, 7，中位數就是 (3+5) / 2 = 4，對於 1, 2, 3, 4，中位數就是 (2+3) / 2 = 2.5，顯然 對於等比數列，算術平均數 就是中位數。
然後，幾何平均數 適合 比例關係的 數列，比如，等比數列：
有：
對於具體的等比數列：2, 4, 8, 16來說，有：G₄ = 2√[2⁴⁻¹] = 4√2
當然，也可以求得，算術平均數：
A₄ = (2 + 4 + 8 + 16)/4 = 7.5
m₄ = (4+8)/2 = 6
可繪製下圖：
可以看出，幾何平均數 G₄ 剛出落在 迴歸線上，中位數 m₄ 落在 4 和 8 點的連線中點上，和 幾何平均數 G₄ 比較接近，而 算術平均數 A₄ 就誤差很大了。
最後，調和平均數 適用於 具有反比性質的 數列，比如，速度序列：
將 一整段路程 n 等分，測量得到汽車每段的速度平均速度分別為：
求整段路的總平均速度。
不妨設 每段路程的 距離 為 r, 於是 每段路程所花費的時間為：
進而所求的總平均速度為：
而速度序列的調和平均數為：
於是 速度序列的調和平均數 就是 總平均速度。
另外，算術平均數 還是 非常 重要的統計量，其對應，隨機變數 X 的數學期望（均值）：
因此，它在數理統計中被廣泛使用。
加權平均數以上的平均數都是預設 數列中的所有元素同等重要。當需要體現元素的不同重要程度時就需要進行加權。加權一般用於算術平均數，加權（算術）平均數定義如下：
加權也可以用於幾何平均數，定義如下：
（以上只簡要的介紹了通用的平均數，而在不同領域，因為不同需求，還有各種特殊的平均數，例如：金融領域的 指數平均數。）