首先，a≠0，否則x=0，方程組表示yoz平面 令x=t，則y=t³/(3*a²)，z=a²/(2*t)，故曲線的向量形式可表示為r={t, t³/(3*a²),a²/(2*t)}, t≠0 下面分別計算r’, r’’,r’’’, | r’|,r’×r’’, |r’×r’’|與[r’, r’’, r’’’]r’={1, t²/ a², -a²/(2*t²)}r’’={0, 2*t/ a², a²/t³}r’’’={0, 2 / a², -3*a²/t⁴} | r’|=√[1+ t⁴/a⁴+ a⁴/(4*t⁴) ]=(2* t⁴+ a⁴)/(2* a²*t²) | i j k |r’×r’’ =| 1 t²/ a² -a²/(2*t²) | = 2/t*i- a²/t³*j+2* t/ a²*k | 0 2*t/ a² a²/t³ | |r’×r’’|=√[4/ t²+a⁴/t⁶+ 4* t²/ a⁴ ]= (2* t⁴+ a⁴)/(a²*|t|³)[r’, r’’, r’’’]=( r’×r’’)* r’’’=0*2/t+2 / a²*(- a²/t³)+(-3*a²/t⁴)*2* t/ a²=-8/ t³ 曲率κ=|r’×r’’|/| r’|³=8* a⁴*|t|³/(2* t⁴+ a⁴)²撓率τ=[r’, r’’, r’’’]/( r’×r’’)²=[r’, r’’, r’’’]/ |r’×r’’|²= -8* a⁴*t³/(2* t⁴+ a⁴)²
首先，a≠0，否則x=0，方程組表示yoz平面 令x=t，則y=t³/(3*a²)，z=a²/(2*t)，故曲線的向量形式可表示為r={t, t³/(3*a²),a²/(2*t)}, t≠0 下面分別計算r’, r’’,r’’’, | r’|,r’×r’’, |r’×r’’|與[r’, r’’, r’’’]r’={1, t²/ a², -a²/(2*t²)}r’’={0, 2*t/ a², a²/t³}r’’’={0, 2 / a², -3*a²/t⁴} | r’|=√[1+ t⁴/a⁴+ a⁴/(4*t⁴) ]=(2* t⁴+ a⁴)/(2* a²*t²) | i j k |r’×r’’ =| 1 t²/ a² -a²/(2*t²) | = 2/t*i- a²/t³*j+2* t/ a²*k | 0 2*t/ a² a²/t³ | |r’×r’’|=√[4/ t²+a⁴/t⁶+ 4* t²/ a⁴ ]= (2* t⁴+ a⁴)/(a²*|t|³)[r’, r’’, r’’’]=( r’×r’’)* r’’’=0*2/t+2 / a²*(- a²/t³)+(-3*a²/t⁴)*2* t/ a²=-8/ t³ 曲率κ=|r’×r’’|/| r’|³=8* a⁴*|t|³/(2* t⁴+ a⁴)²撓率τ=[r’, r’’, r’’’]/( r’×r’’)²=[r’, r’’, r’’’]/ |r’×r’’|²= -8* a⁴*t³/(2* t⁴+ a⁴)²