設A={2,3,4,...,p-2}，從中任取一個元素a，要證明A中還存在元素b使得ab=1(mod p)。這個b必須不等於1或者p-1或者a本身，而且對於不同的a這個b也要不一樣，我們先證明這樣的b是存在的。不如讓a去乘以所有 A的元素(加上另外兩個也就是1和p-1)形成一個新的集合B={a,2a,3a,...,(p-1)a}這個集合內的數除以p的餘數都是不相同的，因為p是質數且a

假如b=1那麼ab=a除以p後餘a而a是A 中的元素即a不等於1，故b不等於1；假如b=p-1，則ab=(p-1)a=pa-a,除以p後餘a，同樣由於a不等於1，所以b不能等於p-1；假如b=a，則ab=a^2，若a^2除以p餘1的話那麼a^2-1能被p整除，a^2-1=(a+1)(a-1)由於a是A中的元素，所以a-1也是a中的元素(a不等於1)所以a-1和p互質最小公倍數為(a-1)p，而1

假如有兩個A中的元素a1，a2不相同，卻有相同的b使得ba1和ba2除以p後餘數都為1，那麼|a1-a2|b能被p整除，但是與上面同理|a1-a2|b

綜上所述，對於任意質數p，{2,3,4,...,p-2}中的數都可以兩兩配對乘積使得除以p後的餘數等於1，所以2*3*4*...*（p-2）的除以p的餘數為1，而1*（p-1）除以p的餘數為-1，所以(p-1)!除以p的餘數為-1。所以(p-1)!+1能被p整除。