和差化積公式

　　和差化積公式：

　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　cosθ-cosφ=2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　和差化積公式由積化和差公式變形得到。

　　積化和差公式是由正弦或餘弦的和角公式與差角公式透過加減運算推導而得。推導過程：

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ，sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ

　　把兩式相加得到：sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ

　　所以，sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　同理，把兩式相減，得到：cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ，cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

　　把兩式相加，得到：cos(α+β)+cos(α-β)=2cosαcosβ

　　所以，cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　同理，兩式相減，得到sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

　　這樣，得到了積化和差的四個公式:

　　sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]/2

　　cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)]/2

　　cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)]/2

　　sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)]/2

　　有了積化和差的四個公式以後,我們只需一個變形,就可以得到和差化積的四個公式.我們把上述四個公式中的α+β設為θ,α-β設為φ,

　　那麼α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

　　把α,β分別用θ,φ表示就可以得到和差化積的四個公式:

　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　sinθ-sinφ=2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

　　cosθ+cosφ=2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

　　cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2]

sinx-cosx

=√2(√2/2*sinx-√2/2cosx)

=√2(sinxcosπ/4-cosxsinπ/4)

=√2sin(x-π/4)