當我們想知道總體的平均數時，常常由於總體數量過大，沒有辦法進行普查，於是我們可以取一些樣本，算出樣本統計量，然後根據樣本統計量來估計總體。下面我們透過一個例子來解釋，如何透過樣本來求出總體的置信區間：
【置信區間】你想研究某種減肥藥的效果。
於是你找來50個人，讓她們每天吃減肥藥。一個月後，測量他們體重的減少量。
平均數 x̅ = 3 kg， 標準差 s = 1 kg
現在這裡面只有t-score不知道，所以我們先算t-score。
t(n=50) = t(df=49)，假設定信度是95%，兩邊就身下0.025的機率。
用R算出來t-score = 2
SE = s/sqrt(n) = 1/sqrt(49)=1/7
x̅ ± t * SE = = 3±2 * 1/7 = 3±0.28 = (2.72, 3.28)
所以95%確定：吃減肥藥後一個月可以減掉的體重在 2.72 kg 到 3.28 kg 之間。
【假設檢驗】假設另一種減肥藥可以幫人減2.5kg，請問在95%的置信度下，能否證明新藥比舊藥療效好？
Ho: μ = 2.5 （假設新藥和舊藥沒有區別）
Ha: μ ≠ 2.5 (假設新藥和舊藥有區別）
現在算一下t-score = （樣本平均數 - 原假設）/ Standard Error
=（x̅ - μ）/ SE = （3 - 2.5 ) / (1/7) = 3.5
得到test statistic後，就可以開始算P - value了，首先應該先畫一個t-distribution, 搞清楚哪一部分的機率是你感興趣的。
現在可以用R來求陰影部分的機率了：
算出陰影部分的機率是0.001， 遠小於顯著性水平0.05，說明在新減肥藥的減肥效果為2.5kg，標準差為1，為真的情況下，找50個人，算出平均數為3kg這件事發生的機率很小，基本可以證明，原假設是錯的，所以要拒絕原假設。
p(Ha|Ho為真） = 0.001 < 0.05 ， 拒絕原假設。
當我們想知道總體的平均數時，常常由於總體數量過大，沒有辦法進行普查，於是我們可以取一些樣本，算出樣本統計量，然後根據樣本統計量來估計總體。下面我們透過一個例子來解釋，如何透過樣本來求出總體的置信區間：
【置信區間】你想研究某種減肥藥的效果。
於是你找來50個人，讓她們每天吃減肥藥。一個月後，測量他們體重的減少量。
平均數 x̅ = 3 kg， 標準差 s = 1 kg
現在這裡面只有t-score不知道，所以我們先算t-score。
t(n=50) = t(df=49)，假設定信度是95%，兩邊就身下0.025的機率。
用R算出來t-score = 2
SE = s/sqrt(n) = 1/sqrt(49)=1/7
x̅ ± t * SE = = 3±2 * 1/7 = 3±0.28 = (2.72, 3.28)
所以95%確定：吃減肥藥後一個月可以減掉的體重在 2.72 kg 到 3.28 kg 之間。
【假設檢驗】假設另一種減肥藥可以幫人減2.5kg，請問在95%的置信度下，能否證明新藥比舊藥療效好？
Ho: μ = 2.5 （假設新藥和舊藥沒有區別）
Ha: μ ≠ 2.5 (假設新藥和舊藥有區別）
SE = s/sqrt(n) = 1/sqrt(49)=1/7
現在算一下t-score = （樣本平均數 - 原假設）/ Standard Error
=（x̅ - μ）/ SE = （3 - 2.5 ) / (1/7) = 3.5
得到test statistic後，就可以開始算P - value了，首先應該先畫一個t-distribution, 搞清楚哪一部分的機率是你感興趣的。
現在可以用R來求陰影部分的機率了：
算出陰影部分的機率是0.001， 遠小於顯著性水平0.05，說明在新減肥藥的減肥效果為2.5kg，標準差為1，為真的情況下，找50個人，算出平均數為3kg這件事發生的機率很小，基本可以證明，原假設是錯的，所以要拒絕原假設。
p(Ha|Ho為真） = 0.001 < 0.05 ， 拒絕原假設。