第一本當然是正經向的教材,從點集拓撲（連通性、緊性、分離性）開始,涉及同倫、基本群、三角剖分、van Kampen定理,計算一些例子(最基本的是S^1和T^2還有RP^2),再談談二維緊曲面，復疊空間的相關性質，然後轉到單純同調群,算一算高維的比如S^n的單純同調群,如果還有時間扯一扯對映度，然後給一些應用如最經典的Brouwer和Lefschetz不動點定理,Borsuk-Ulam定理,維數不變性,基本上就達到目的了.推薦《基礎拓撲學》 M.A.Armstrong，把國內最近的拓撲學教材拿出來，看後面的參考文獻，八成有這一本書。其覆蓋了上面的內容，還有最後一節介紹了簡單的扭結（扭結相關的更深入、比較老的書推薦 GTM 57 ），優點是有一些幾何直觀。如果是中文的話那麼北大尤承業那本比較嚴密,也覆蓋了上面的內容，復疊空間的部分我比較喜歡。有些習題還是比較難的。看這些書最好還是要結合一些直覺。舉個例子，挖掉一個洞變成2個洞的環面,基本群從Z^2變成<a,b,c,d|ab=ba,cd=dc>,這可以從生成元直接看出來，當然也可以取一個T^2的三角剖分然後邊角戳個洞。再比如說三維歐氏空間去掉一個圓周同倫於2維球面與S^1的單點並又比如說S^2的尤拉示性數為什麼是2，從三角剖分上來看其剖分去掉一個三角形就是平面圖，而平面圖尤拉示性數是1.又比如很多時候生成元可以直接從三角剖分上看出來。如果不想正兒八經學拓撲學的話，只是想看點閒書，推薦讀過非常有趣的3本閒書中的第一本，有許多幾何、直觀的例子（圖超多），適合學了基本內容來看（當然沒學也可以看），其證明也是直觀的（所以完全沒扯點集拓撲）:A Mathematical Gift I, II, III: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra雖然上面除了基本的拓撲學還扯了很多別的東西，但中學生就幾乎可以看懂：（第一章是尤拉示性數和Poincare-Hopf定理以及二維Gauss-Bonet公式）如果把第一本讀了，大概就能有一些直覺。這幾本寫的非常friendly…當然上面這些不足以拓撲學的入門，只能算是開始吧…至少要到MV正合列，以及胞腔同調等等，才能夠算是入門…然後後續學習，微分拓撲方面推薦Milnor的4本，代數拓撲一本大Hatcher可能就夠讀個一年半載了…
第一本當然是正經向的教材,從點集拓撲（連通性、緊性、分離性）開始,涉及同倫、基本群、三角剖分、van Kampen定理,計算一些例子(最基本的是S^1和T^2還有RP^2),再談談二維緊曲面，復疊空間的相關性質，然後轉到單純同調群,算一算高維的比如S^n的單純同調群,如果還有時間扯一扯對映度，然後給一些應用如最經典的Brouwer和Lefschetz不動點定理,Borsuk-Ulam定理,維數不變性,基本上就達到目的了.推薦《基礎拓撲學》 M.A.Armstrong，把國內最近的拓撲學教材拿出來，看後面的參考文獻，八成有這一本書。其覆蓋了上面的內容，還有最後一節介紹了簡單的扭結（扭結相關的更深入、比較老的書推薦 GTM 57 ），優點是有一些幾何直觀。如果是中文的話那麼北大尤承業那本比較嚴密,也覆蓋了上面的內容，復疊空間的部分我比較喜歡。有些習題還是比較難的。看這些書最好還是要結合一些直覺。舉個例子，挖掉一個洞變成2個洞的環面,基本群從Z^2變成<a,b,c,d|ab=ba,cd=dc>,這可以從生成元直接看出來，當然也可以取一個T^2的三角剖分然後邊角戳個洞。再比如說三維歐氏空間去掉一個圓周同倫於2維球面與S^1的單點並又比如說S^2的尤拉示性數為什麼是2，從三角剖分上來看其剖分去掉一個三角形就是平面圖，而平面圖尤拉示性數是1.又比如很多時候生成元可以直接從三角剖分上看出來。如果不想正兒八經學拓撲學的話，只是想看點閒書，推薦讀過非常有趣的3本閒書中的第一本，有許多幾何、直觀的例子（圖超多），適合學了基本內容來看（當然沒學也可以看），其證明也是直觀的（所以完全沒扯點集拓撲）:A Mathematical Gift I, II, III: The Interplay Between Topology, Functions, Geometry, and Algebra雖然上面除了基本的拓撲學還扯了很多別的東西，但中學生就幾乎可以看懂：（第一章是尤拉示性數和Poincare-Hopf定理以及二維Gauss-Bonet公式）如果把第一本讀了，大概就能有一些直覺。這幾本寫的非常friendly…當然上面這些不足以拓撲學的入門，只能算是開始吧…至少要到MV正合列，以及胞腔同調等等，才能夠算是入門…然後後續學習，微分拓撲方面推薦Milnor的4本，代數拓撲一本大Hatcher可能就夠讀個一年半載了…