在一個環裡，1是乘法單位元，0是加法單位元。假設這個環不是零環，那麼1和0就是兩個不同的元素。
因為環在乘法下是么半群，所以對於任意的元素a，a×1=a=1×a是環的公理。由此可得第一種證明思路：取a=0，則0×1 = 1×0 = 0。
第二種證明思路依賴於a×0=0=0×a這個性質，該性質可以直接由環的公理（包括a×1=a=1×a）推導得出：
a×0 = a×0 + 0 = a×0 + (a + (-a)) = (a×0 + a) + (-a) = (a×0 + a×1) + (-a) = a×(0+1) + (-a) = a×1 + (-a) = a + (-a) = 0
0×a = 0×a + 0 = 0×a + (a + (-a)) = (0×a + a) + (-a) = (0×a + 1×a) + (-a) = (0+1)×a + (-a) = 1×a + (-a) = a + (-a) = 0 = a×0
值得注意的是，這種證明只需要用到環的公理，不需要假設乘法交換律或乘法的逆運算。
於是，取a=1，則0×1 = 1×0 = 0。
綜上所述，兩種思路都可以證明，但第一種直接用公理，步驟略少一些。
如果這種證明無法解決題主的疑惑，那麼我就再提供一個因果關係角度的分析。「E是因為C1，還是C2？」這樣的問句往往在詢問實際原因（actual cause）。例如，「已知以下三種狀況同時存在，車禍的原因到底是司機酒駕，還是雨天路滑，還是剎車故障？」題主的問題，在哲學裡被稱為symmetric overdetermination：列出的任何一個因都能造成這個果。
尋找實際原因的過程，通常也是尋找責任（道德責任或法律責任）的過程。但是，我個人不推薦用因果關係的思維解決數學問題。因為，數學中的證明（proof）、蘊含（entailment）、實質條件（material conditional）都是有良定義的概念，學過數理邏輯就可以理解。可是，現實中的因果關係並沒有一個被普遍接受的良定義。
在學習因果關係的過程中，我時常會提醒自己：能用嚴謹的數學語言描述的問題，就不必要加入「因果」這樣模稜兩可的詞彙。例如，identifiability of linear non-Gaussian additive noise model儘管被稱為一個「因果識別」問題，它的實際定義並不包含任何「因果」的成分，用數學就能完美描述。
所以，我先前把題主問題中的「因為」轉化成了「可證明」進行論述：
補充：在半環裡，「0 乘以任何數字都等於 0」和「1 乘任何數字都等於那個數」都是公理。
本來隨手答的一道題，沒想到上熱榜了。原來的證明雖然沒有錯，但是沒有用最少的公理。這裡重新證一遍a×0=0：
a×0 = a×(0+0) = a×0 + a×0
a×0 + (-(a×0)) = (a×0 + a×0) + (-(a×0))
0 = a×0 + (a×0 + (-(a×0)))
0 = a×0 + 0
0 = a×0
0×a=0的證明同理，但需要用到右分配律。
到此為止，僅用了分配率、加法結合律、加法逆運算、加法單位元。對於任何滿足上述公理的代數結構，a×0=0×a=0都是成立的。
同時，我一開始就把1理解為了乘法的雙邊單位元，所以在任何有1的代數結構裡，應該都有公理a×1=1×a=a。
在一個環裡，1是乘法單位元，0是加法單位元。假設這個環不是零環，那麼1和0就是兩個不同的元素。
因為環在乘法下是么半群，所以對於任意的元素a，a×1=a=1×a是環的公理。由此可得第一種證明思路：取a=0，則0×1 = 1×0 = 0。
第二種證明思路依賴於a×0=0=0×a這個性質，該性質可以直接由環的公理（包括a×1=a=1×a）推導得出：
a×0 = a×0 + 0 = a×0 + (a + (-a)) = (a×0 + a) + (-a) = (a×0 + a×1) + (-a) = a×(0+1) + (-a) = a×1 + (-a) = a + (-a) = 0
0×a = 0×a + 0 = 0×a + (a + (-a)) = (0×a + a) + (-a) = (0×a + 1×a) + (-a) = (0+1)×a + (-a) = 1×a + (-a) = a + (-a) = 0 = a×0
值得注意的是，這種證明只需要用到環的公理，不需要假設乘法交換律或乘法的逆運算。
於是，取a=1，則0×1 = 1×0 = 0。
綜上所述，兩種思路都可以證明，但第一種直接用公理，步驟略少一些。
如果這種證明無法解決題主的疑惑，那麼我就再提供一個因果關係角度的分析。「E是因為C1，還是C2？」這樣的問句往往在詢問實際原因（actual cause）。例如，「已知以下三種狀況同時存在，車禍的原因到底是司機酒駕，還是雨天路滑，還是剎車故障？」題主的問題，在哲學裡被稱為symmetric overdetermination：列出的任何一個因都能造成這個果。
尋找實際原因的過程，通常也是尋找責任（道德責任或法律責任）的過程。但是，我個人不推薦用因果關係的思維解決數學問題。因為，數學中的證明（proof）、蘊含（entailment）、實質條件（material conditional）都是有良定義的概念，學過數理邏輯就可以理解。可是，現實中的因果關係並沒有一個被普遍接受的良定義。
在學習因果關係的過程中，我時常會提醒自己：能用嚴謹的數學語言描述的問題，就不必要加入「因果」這樣模稜兩可的詞彙。例如，identifiability of linear non-Gaussian additive noise model儘管被稱為一個「因果識別」問題，它的實際定義並不包含任何「因果」的成分，用數學就能完美描述。
所以，我先前把題主問題中的「因為」轉化成了「可證明」進行論述：
從公理「1 乘任何數字都等於那個數」，我們可以證出「1×0＝0」；從性質「0 乘以任何數字都等於 0」，我們也可以證出「1×0＝0」；從公理「1 乘任何數字都等於那個數」以及環的一些其他公理，我們可以證出性質「0 乘以任何數字都等於 0」。補充：在半環裡，「0 乘以任何數字都等於 0」和「1 乘任何數字都等於那個數」都是公理。
本來隨手答的一道題，沒想到上熱榜了。原來的證明雖然沒有錯，但是沒有用最少的公理。這裡重新證一遍a×0=0：
a×0 = a×(0+0) = a×0 + a×0
a×0 + (-(a×0)) = (a×0 + a×0) + (-(a×0))
0 = a×0 + (a×0 + (-(a×0)))
0 = a×0 + 0
0 = a×0
0×a=0的證明同理，但需要用到右分配律。
到此為止，僅用了分配率、加法結合律、加法逆運算、加法單位元。對於任何滿足上述公理的代數結構，a×0=0×a=0都是成立的。
同時，我一開始就把1理解為了乘法的雙邊單位元，所以在任何有1的代數結構裡，應該都有公理a×1=1×a=a。