首先一下幾點都是對一元函式所說的，對多元函式不一定成立：
1，連續和可導有非常明確的關係，即可導一定連續，但連續不一定可導，例如y=|x|在x=0處連續，但該點處的左右導數不相等，故不可導。關於可導一定連續，嚴格證明教材上都有，這裡只給一個形象的解釋，函式f(x)在x0處的導數f‘(x0)定義為x趨於x0時lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)，這個極限表示式中，分母已經是趨於0的了，如果極限值存在，分子也必須趨於0（否則極限為∞），從而形成極限的0/0型未定式，而這就保證了limf(x)=f(x0)，也就是f(x)在x0處連續。另外以上兩條的逆否命題是“不連續一定不可導”，“不可導不一定不連續”，也是很有用的。
2，關於有界和連續，對於一般的情況，有界不一定連續（例如狄利克雷函式D(x)），連續也不一定有界（例如y=x）。有界和連續只在特殊的情況下有聯絡，例如對點而言，函式在某點連續則在該點的某個鄰域內一定有界，這是由於在某點連續的函式在該點極限一定存在，而函式極限具有區域性有界性，注意我們只能斷言這樣的鄰域一定存在，但是鄰域的範圍一般是不能事先斷言的。對於區間而言，在閉區間上連續的函式一定有界，而對於開區間或無窮區間，都不一定成立，例如f(x)=1/x在(0,1)上連續但無界。
3，有界和可導之間一般來說沒有什麼關係，有界不一定可導，可導也不一定有界。
4，注意著三個概念的定義方式，連續和可導都是“逐點”定義的，即先定義在某點處函式的連續與可導，再推廣到區間，推廣的方式是非常自然的，即如果在區間內每一點處函式都連續或可導，則說函式在這個區間上連續或可導。連續和可導本質上是“區域性”性質的概念，而有界不同，它沒有“點定義”，說函式在某點處有界是沒有意義的，有界性是定義在區間上的，所以本質上是“整體”性質的概念。
首先一下幾點都是對一元函式所說的，對多元函式不一定成立：
1，連續和可導有非常明確的關係，即可導一定連續，但連續不一定可導，例如y=|x|在x=0處連續，但該點處的左右導數不相等，故不可導。關於可導一定連續，嚴格證明教材上都有，這裡只給一個形象的解釋，函式f(x)在x0處的導數f‘(x0)定義為x趨於x0時lim[f(x)-f(x0)]/(x-x0)，這個極限表示式中，分母已經是趨於0的了，如果極限值存在，分子也必須趨於0（否則極限為∞），從而形成極限的0/0型未定式，而這就保證了limf(x)=f(x0)，也就是f(x)在x0處連續。另外以上兩條的逆否命題是“不連續一定不可導”，“不可導不一定不連續”，也是很有用的。
2，關於有界和連續，對於一般的情況，有界不一定連續（例如狄利克雷函式D(x)），連續也不一定有界（例如y=x）。有界和連續只在特殊的情況下有聯絡，例如對點而言，函式在某點連續則在該點的某個鄰域內一定有界，這是由於在某點連續的函式在該點極限一定存在，而函式極限具有區域性有界性，注意我們只能斷言這樣的鄰域一定存在，但是鄰域的範圍一般是不能事先斷言的。對於區間而言，在閉區間上連續的函式一定有界，而對於開區間或無窮區間，都不一定成立，例如f(x)=1/x在(0,1)上連續但無界。
3，有界和可導之間一般來說沒有什麼關係，有界不一定可導，可導也不一定有界。
4，注意著三個概念的定義方式，連續和可導都是“逐點”定義的，即先定義在某點處函式的連續與可導，再推廣到區間，推廣的方式是非常自然的，即如果在區間內每一點處函式都連續或可導，則說函式在這個區間上連續或可導。連續和可導本質上是“區域性”性質的概念，而有界不同，它沒有“點定義”，說函式在某點處有界是沒有意義的，有界性是定義在區間上的，所以本質上是“整體”性質的概念。