收斂數列的保號性：

1,若有正整數N，使得當n>N時An>0(或<0)，則極限A>0(或<0).2,若極限A>0(或<0),則有正整數N使得當n>N時，An>0(或<0).例子：An=1/n ，每一個An都大於0，但極限A=0.說明：1、用反證法來說明：假設滿足你的條件(An>0)，但A<0，則-A/2>0，由極限的定義，存在一個M，使得當n>M時，|An-A|<(-A/2) => An<A/2<0。這裡對n>M都成立，所以我們也可以同時要求n>N，這時有An<0(n>N)，與條件矛盾。2.直接說明即可。若A>0，則A/2>0。由極限的定義，存在一個N，當n>N時，|An-A|<A/2 => An>A/2>0。這樣我們已經找到了一個N，當n>N時，An>0。

收斂數列性質

1.唯一性

如果數列Xn收斂，每個收斂的數列只有一個 極限。收斂數列

2.有界性

定義：設有數列Xn , 若存在M>0,使得一切自然數n,恆有|Xn|

定理1：如果數列{Xn}收斂，那麼該數列必定有界。推論： 無界數列必定發散；數列有界

，不一定收斂；數列發散不一定無界。數列有界是數列收斂的必要條件，但不是充分條件

3.保號性

如果數列{Xn}收斂於a，且a>0（或a<0），那麼存在正整數N，當n>N時，都有Xn>0（或Xn<0）。