首先此問題要分成兩種情況：

（1）平面內，過直線外一點畫已知直線的垂線，可以畫1條：

證明如下：

設直線為L，直線外一點為A，假設過點A可以做兩條直線與L垂直，垂足分別為B與C，由於AB⊥L，AC⊥L，所以AB//AC，又因為AB與AC交於點A,這與AB//AC相矛盾，所以原假設不成立，即過點A可以做1條直線與L垂直。

（2）空間中，過直線外一點畫已知直線的垂線，可以畫無數條：

由於空間中對於垂直的定義與平面有所不同，兩直線不一定要相交，異面直線也可以垂直，因此，可先找到過點A與L垂直的平面，根據空間直線的方向向量與A點的座標，可以確定平面的方程，在這個平面上過點A的任一一條直線都與L垂直，因此有無數條。

擴充套件資料：

垂線的基本性質是：

（1）過直線上或直線外的一點,有且只有一條直線和已知直線垂直。

（2）從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中，垂直線段最短。

當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，條直線的垂線其中的一條直線叫做另一條線的垂線。

注意到垂線的定義中，只是規定了兩直線交角的大小(90°)，並沒有規定兩條直線的位置如何。也就是說，不論一條直線的位置如何，只要另一條與它的交角是90°，其中任何一條直線就是另一條直線的垂線。