首先此問題要分成兩種情況:
(1)平面內,過直線外一點畫已知直線的垂線,可以畫1條:
證明如下:
設直線為L,直線外一點為A,假設過點A可以做兩條直線與L垂直,垂足分別為B與C,由於AB⊥L,AC⊥L,所以AB//AC,又因為AB與AC交於點A,這與AB//AC相矛盾,所以原假設不成立,即過點A可以做1條直線與L垂直。
(2)空間中,過直線外一點畫已知直線的垂線,可以畫無數條:
由於空間中對於垂直的定義與平面有所不同,兩直線不一定要相交,異面直線也可以垂直,因此,可先找到過點A與L垂直的平面,根據空間直線的方向向量與A點的座標,可以確定平面的方程,在這個平面上過點A的任一一條直線都與L垂直,因此有無數條。
擴充套件資料:
垂線的基本性質是:
(1)過直線上或直線外的一點,有且只有一條直線和已知直線垂直。
(2)從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂直線段最短。
當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,就說這兩條直線互相垂直,條直線的垂線其中的一條直線叫做另一條線的垂線。
注意到垂線的定義中,只是規定了兩直線交角的大小(90°),並沒有規定兩條直線的位置如何。也就是說,不論一條直線的位置如何,只要另一條與它的交角是90°,其中任何一條直線就是另一條直線的垂線。
首先此問題要分成兩種情況:
(1)平面內,過直線外一點畫已知直線的垂線,可以畫1條:
證明如下:
設直線為L,直線外一點為A,假設過點A可以做兩條直線與L垂直,垂足分別為B與C,由於AB⊥L,AC⊥L,所以AB//AC,又因為AB與AC交於點A,這與AB//AC相矛盾,所以原假設不成立,即過點A可以做1條直線與L垂直。
(2)空間中,過直線外一點畫已知直線的垂線,可以畫無數條:
由於空間中對於垂直的定義與平面有所不同,兩直線不一定要相交,異面直線也可以垂直,因此,可先找到過點A與L垂直的平面,根據空間直線的方向向量與A點的座標,可以確定平面的方程,在這個平面上過點A的任一一條直線都與L垂直,因此有無數條。
擴充套件資料:
垂線的基本性質是:
(1)過直線上或直線外的一點,有且只有一條直線和已知直線垂直。
(2)從直線外一點到這條直線上各點所連的線段中,垂直線段最短。
當兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,就說這兩條直線互相垂直,條直線的垂線其中的一條直線叫做另一條線的垂線。
注意到垂線的定義中,只是規定了兩直線交角的大小(90°),並沒有規定兩條直線的位置如何。也就是說,不論一條直線的位置如何,只要另一條與它的交角是90°,其中任何一條直線就是另一條直線的垂線。