因為加減乘除同時存在的時候，考慮封閉性需要是環上的運算。而根據環的定義，加法和乘法要滿足分配律。（當然這裡的加法和乘法與初等數學中數字的加法（下文簡稱為初等加法）和乘法（下文簡稱初等乘法）不是一回事）換言之，優先順序較高的那個運算即為乘法，較低的那個即為加法。
那麼問題來了，在實數集上討論的話，我們的初等乘法能不能勝任環定義中加法的功能呢？而我們的初等加法能不能勝任環定義中乘法的功能呢？如果兩個答案都是yes的話，那麼確實可以改變加法和乘法的優先順序。可事實上兩個答案都是yes嗎？要解決這個問題，我們需要看環的定義。根據環的定義
我們先看初等乘法能不能將R形成交換群，我們一條條核對，首先實數對乘法封閉，check！有交換律，check！有結合律，check！有零元素 1 .滿足1*a=a*1，check！但最後一條，很可惜，不存在任何實數與0相乘後可以得到1(上一條中的零元素），所以（R，*）並不能形成交換群。所以我們的初等乘法並不能承擔起加法（不是初等加法）在實數環中的重任。所以第一個問題答案是No.
再看初等加法能不能勝任乘法在環中的功能。首先R對加法封閉，又有結合律。確實形成了半群。所以第二個問題的答案是yes。
所以對於題主的問題。如果限定死了初等乘法和初等加法的定義，那麼這兩個運算必須只能分別稱為環中的乘法和加法，滿足對應的優先順序，即先乘除後加減。但由於第二個問題的答案是yes。所以對於初等加法來說，其實它是有稱為環中乘法的潛質的，只是要找到一個新的運算做它的加法，而這個運算一定不會是初等乘法。
因為加減乘除同時存在的時候，考慮封閉性需要是環上的運算。而根據環的定義，加法和乘法要滿足分配律。（當然這裡的加法和乘法與初等數學中數字的加法（下文簡稱為初等加法）和乘法（下文簡稱初等乘法）不是一回事）換言之，優先順序較高的那個運算即為乘法，較低的那個即為加法。
那麼問題來了，在實數集上討論的話，我們的初等乘法能不能勝任環定義中加法的功能呢？而我們的初等加法能不能勝任環定義中乘法的功能呢？如果兩個答案都是yes的話，那麼確實可以改變加法和乘法的優先順序。可事實上兩個答案都是yes嗎？要解決這個問題，我們需要看環的定義。根據環的定義
我們先看初等乘法能不能將R形成交換群，我們一條條核對，首先實數對乘法封閉，check！有交換律，check！有結合律，check！有零元素 1 .滿足1*a=a*1，check！但最後一條，很可惜，不存在任何實數與0相乘後可以得到1(上一條中的零元素），所以（R，*）並不能形成交換群。所以我們的初等乘法並不能承擔起加法（不是初等加法）在實數環中的重任。所以第一個問題答案是No.
再看初等加法能不能勝任乘法在環中的功能。首先R對加法封閉，又有結合律。確實形成了半群。所以第二個問題的答案是yes。
所以對於題主的問題。如果限定死了初等乘法和初等加法的定義，那麼這兩個運算必須只能分別稱為環中的乘法和加法，滿足對應的優先順序，即先乘除後加減。但由於第二個問題的答案是yes。所以對於初等加法來說，其實它是有稱為環中乘法的潛質的，只是要找到一個新的運算做它的加法，而這個運算一定不會是初等乘法。