雅克比迭代法就是眾多迭代法中比較早且較簡單的一種，其命名也是為紀念普魯士著名數學家雅可比。雅克比迭代法的計算公式簡單，每迭代一次只需計算一次矩陣和向量的乘法，且計算過程中原始矩陣A始終不變，比較容易平行計算。

概念

考慮線性方程組Ax = b時，一般當A為低階稠密矩陣時，用主元消去法解此方程組是有效方法。但是，對於由工程技術中產生的大型稀疏矩陣方程組(A的階數很高，但零元素較多，例如求某些偏微分方程數值解所產生的線性方程組)，利用迭代法求解此方程組就是合適的，在計算機記憶體和運算兩方面，迭代法通常都可利用A中有大量零元素的特點。雅克比迭代法就是眾多迭代法中比較早且較簡單的一種，其命名也是為紀念普魯士著名數學家雅可比。

摺疊編輯本段迭代過程

迭代過程

首先將方程組中的係數矩陣A分解成三部分，即:A = L+D+U，如圖1所示，其中D為對角陣，L為下三角矩陣，U為上三角矩陣。

之後確定迭代格式，X^(k+1) = B*X^(k) +f ，(這裡^表示的是上標，括號內數字即迭代次數)，如圖2所示，其中B稱為迭代矩陣，雅克比迭代法中一般記為J。(k = 0,1，......)

再選取初始迭代向量X^(0)，開始逐次迭代。

摺疊編輯本段收斂性

設Ax= b，其中A=D+L+U為非奇異矩陣，且對角陣D也非奇異，則當迭代矩陣J的譜半徑ρ(J)<1時，雅克比迭代法收斂。

摺疊編輯本段優缺點

雅克比迭代法的優點明顯，計算公式簡單，每迭代一次只需計算一次矩陣和向量的乘法，且計算過程中原始矩陣A始終不變，比較容易平行計算。然而這種迭代方式收斂速度較慢，而且佔據的儲存空間較大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改進方法。

摺疊編輯本段程式實現示例

#include<stdio.h>

#include<math.h>

#include <stdlib.h>

main(){

float e=0.001,z,m,a[3][3]={5,2,1,-1,4,2,2,-3,10},b[3]={-12,20,3},x[3]={0,0,0},y[3];

int n=3,j,i,k=1;

while(1) {

for(i=0;i<3;i++) {

for(j=0;j<3;j++)

m=m+a[i][j]*x[j];

m=m-x[i]*a[i][i];

y[i]=(b[i]-m)/a[i][i];

m=0;

}

i=0;

while(i<3) {

z=fabs(x[i]-y[i]);

if(z>e)

break;

i++;

}

if(i!=3) {

for(i=0;i<3;i++)

x[i]=y[i];

k++;

}

else if(i==3)

break;

}

printf("%f\n%f\n%f\n",y[0],y[1],y[2]);

}