首先顯然不存在正整數集合上面的均勻分佈，這是因為如果是均勻分佈，取到每個整數的的機率必須相同，根據有限可加性取每個整數的機率必須為 0 ，但是可列可加性得到全空間的機率為 0 ，這是矛盾的。

但是我們依然可以解釋諸如：”任取一個正整數，它是偶數的機率是1/2“，這樣的問題。我們考慮在 中隨機取出一個數是偶數的機率是1/2或者 ，當 n 趨於無窮時極限為 1/2 。首此啟發，設 我們可以如下定義從隨機取出一個正整數，它屬於集合 A 的機率：

令 ，其中 表示 A 中小於等於 n 的元素的個數。 表示了隨機從 中取出一個數，屬於 A 的機率。 定義為隨機取出一個正整數，它屬於集合 A 的機率，也稱為數集 A 的密度。注意這並不是嚴格意義上的機率，不滿足可列可加性。

據此我們可以說任取一個數是素數的機率是 0 ，任取一個數是 k 的倍數的機率是 1/k。

而對於任取兩個整數，它們互素的機率這個問題。我們把它定義在二維正整數空間上，令K表示兩個數互素的事件，它是 的子集，令 ，下面我們來計算 。

如果兩個數不互素，它們一定存在素數 使得 p 是它們的公因子，令 分別表示兩個數是 p 的倍數的事件，那麼 。

其中 代表取整函式。 。下面計算 。

，所以級數絕對收斂，極限可以和求和交換次序， 。

我們解釋為：任取兩個正整數，它們互素的機率為 。

參考文獻：