第一次見到這種解法，思路蠻有新意的. 這種方法是先假設數列 的極限存在，設為 ，在等式 兩邊同時取極限得 ，解得 . 但顯然， ，由極限的保號性， . 接下來證明數列 的確收斂於 .

因為

而 ，由夾擠準則， ，即 .

還有一種解決這種遞迴數列求極限問題的常見辦法，就是先用單調有界定理證明數列極限存在，再求出這個極限. 不幸的是，在計算一下 之後我們發現這個數列不單調. 不過沒有關係，我們有如下引理：

lemma 若數列 的奇數項構成的子列 與偶數項構成的子列 收斂於同一極限 ，則數列 也收斂到 .

我們應用該引理求出數列 的極限. 首先注意到，若 ，則 ；而若 ，則 . 用歸納法不難證明， 單調遞增且以 為它的一個上界， 單調遞減且以 為它的一個下界. 由單調有界定理知，數列 與 均收斂. 設它們分別收斂於 ，在 兩邊同時取 得 均滿足方程 ，即 ，解出 . 再由極限的保號性捨去 這個根，就得到 與 都收斂於 ，所以由引理， 也收斂於 .

其實，從這個遞迴中我們可以解出 的通項.

lemma 設線性分式函式 ，數列 滿足遞迴關係 ，且 .

若 有兩個相異的不動點 ，則數列 是公比為 的等比數列；

若 有唯一不動點 ，則數列 是公差為 的等差數列.

容易計算 有兩個相異的不動點 ，所以根據引理中的 ，我們知道 ，所以 ，又 ，所以 .