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  • 1 # 使用者5475213232190

    這是平直的歐氏空間上的性質,如果不是歐氏幾何,比如說球面上,一般就不成立,比如緯線圈長度和到北極距離(注意球面上只能用球面距離)就不成比例。

    歐氏空間主要有以下性質:

    1. 它是一個線性空間,而且原點可以任意選擇(也叫做仿射空間),也就是說任意圖形都可以平移、旋轉、縮放而仍然在空間內

    2. 它是一個內積空間,長度定義為內積的平方根,而內積有雙線性性質,意味著旋轉時長度不變,縮放時長度按比例增加(整體平移時向量本身是不變的);內積也定義了角度,因而平移、旋轉、縮放時角度不變。

    這些性質在歐氏幾何中作為公理和公設出現,線上性代數中則認為是代數結構的性質。

    有這些基礎之後可以定義更廣泛的相似性:

    對於點集A,如果存在仿射變化f,將A中每個點經過f變化,得到的新點集恰好為A",則稱A"與A相似。根據前面的性質,相似的兩個圖形,直線仍然對應直線,角度不變,距離則成固定比例。

    由於仿射變化是可以複合的,因此透過多個平移、旋轉、縮放之後重合也是一樣的。

    接下來證明任意兩個圓都是相似的,我們可以將圓和圓心一起做變化,只需要仿照其它答主的方法:首先將圓心平移到重合的位置,然後以圓心為原點按半徑比例縮放,則圓周上點到圓心的距離仍然相等,得到了一個新的圓,很容易證明兩個圓現在完全重合。

    既然任意兩個圓都相似,那麼最後一個問題是考慮周長的問題了,首先需要定義周長,我們一般定義曲線長度為內接折線長度的上確界,對於圓來說,就是內接簡單多邊形的周長的上確界了;那麼不難發現,設相似變換為f,則第一個圓上的任意內接簡單多邊形,經過f變換,都得到第二個圓上的一個對應的、相似的內接簡單多邊形,因而多邊形周長成固定比例;因為f可逆,因此反過來也有同樣的對應關係。因為每個元素都相應成比例,那麼運用與常數乘積的極限性質,整體的上確界也相應成比例了,因而圓的周長的比例也是相似比。很容易發現這一點可以推廣到任意曲線上。

    既然周長和半徑(直徑)都相應成比例,那麼周長和直徑的比值自然就是固定值了。

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